Sia   f(x) = sin(x) / x.  Tracciare il grafico di f e stabilire se f può essere "prolungata" a tutto R in modo da rimanere continua. Studiare la derivabilità della funzione così ottenuta.

f è continua nel suo dominio, R−{0}. Si azzera dove si azzera la funzione seno:  in π, −π, 2π, −2π, …. La funzione è pari: f(−x) = f(x). Per x → 0 sin(x) / x → 1 ( infiniti e infinitesimi). Quindi ottengo una funzione f continua in tutto R ponendo f(0) = 1.
La derivata di f in R−{0} è: D_x sin(x)/x = (cos(x)·x−sin(x)) / x². Per studiare come si comporta questo termine per x → 0 potrei procedere in vari modi; ad esempio, usando l'Hopital, mi riconduco al limite di −sin(x)·x / (2x), ossia di −sin(x) / 2, che è 0. Questo è dunque il valore della derivata in 0 della nostra funzione (se il limite non fosse esistito non avrei potuto concludere che la derivata non esiste: derivata).

# Come è stato ottenuto il grafico con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) sin(x)/x
BF=5; HF=3; graph1F( f, -pi*10,pi*10, "brown")
for (x in pi*(-10:10)) Point(x,0, "red")
# ovvero:
TICKx=pi; TICKy=0.1
Plane2(-pi*10,pi*10, -0.25,1)
graph1( f, -pi*10,pi*10, "brown")
abovex("y = sin(x)/x")
underY((-1:5)*0.2,(-1:5)*0.2)
underX(0,0)
underX(bquote(2*pi),pi*2); underX(bquote(4*pi),pi*4)
underX(bquote(6*pi),pi*6); underX(bquote(8*pi),pi*8)
underX(bquote(10*pi),pi*10)
underX(bquote(-2*pi),-pi*2); underX(bquote(-4*pi),-pi*4)
underX(bquote(-6*pi),-pi*6); 
underX(bquote(-8*pi),-pi*8)
underX(bquote(-10*pi),-pi*10)