Sia   f(x) = e^2+sin(x)
    (a)  E' una funzione periodica? [motiva la risposta]
    (b)  Studia f determinandone intervalli di crescenza e decrescenza, eventuali punti di massimo e minimo relativi ed asintoti  [usa il fatto che x → exp(x) è crescente]

(a) La funzione è sicuramente perdiodica in quanto ottenuta componendo (come prima funzione) la funzione periodica sin con altre funzioni (è stato aggiunto 2 e poi il risultato è stato preso come esponente della funzione esponenziale). Il periodo è quello di sin in quanto la funzione esponenziale è crescente (se avessi composto con una funzione periodica avrei potuto ottenere anche un periodo più piccolo: vedi l'esercizio 6a.15). A conferma possiamo tracciare il grafico di f con l'ausilio del computer:

(b) Il grafico (e i calcoli) realizzabili col computer ci confermano il fatto che la funzione ha massimo e minimo (assoluti, e quindi anche relativi) dove li ha la funzione sin, ossia per x = π/2+2kπ (k intero) e per x = −π/2+2kπ (k intero).
    La funzione non ha alcun asintoto in quanto se questo fosse orizzontale, ossia del tipo y=k, la funzione (al tendere dell'input a ∞ o a −∞) tenderebbe ad assumere il valore k, contraddicendo la periodicità (dovrebbe avvicinarsi sempre più a k mentre invece la funzione continua a oscillare tra i valore minimo e il massino), se questo fosse una retta non orizzontale la funzione dovrebbe essere illimitata, mentre la nostra funzione non è tale.

# Grafico e calcoli con R
BF=4; HF=2.8
f = function(x) exp(2+sin(x))
# per avere rapidamente un'idea di dove varia la funzione:
RANGE( f, -3*pi, 3*pi)
#  [~]  2.718282   (in -1.570793 )   20.08554   (in 1.570815 ) 
# Scelgo la porzione di piano rappresentando anche l'asse x:
Plane(-3*pi,3*pi, 0,21); graph( f, -3*pi, 3*pi, "brown")
# Rappresento anche i multipli di pi/2:
for(x in -6:6) POINT(x*pi/2,0, "red")
underX("2pi",2*pi); underX("-2pi",-2*pi)
# Ottengo la figura precedente.
# Per la seguente, in cui rappresento anche la funzione derivata:
TICKx=pi/2; TICKy=5
Plane2(-3*pi,3*pi, -11,21)
graph( f, -3*pi, 3*pi, "brown")
df = function(x) eval(deriv(f,"x")); graph2( df, -3*pi, 3*pi, "seagreen")
underX(bquote(-2*pi),-pi*2); underX(bquote(2*pi),pi*2); underX(0,0)
underY((-1:2)*10,(-1:2)*10)