Studia f : x → −3·(x² − 9) / (x² − 4).

La funzione è definita per x ≠ 2 e x ≠ −2.  −3·(x2 − 9) > 0 per x = ±2. Quindi  lim x → 2+ f(x) = lim x → −2− f(x) = ∞, mentre  lim x → 2− f(x) = lim x → −2+ f(x) = −∞ f(x) = −3·(x2−4+4−9)/(x2−4) = −3 + 15/(x2−4). La funzione ha grafico simmetrico rispetto all'asse y (in quanto è funzione di x2). Per |x| < 2 sale/scende dove scende/sale x → x2−4. Del resto D(f)(x) = −30x/(x2−4)2 è maggiore/minore di 0 per x negativo/positivo. In 0 abbiamo dunque un massimo relativo, in cui f vale -27/4 = -6.75, e la funzione sale/scende come è raffigurato nel grafico a fianco. Per studiare la concavità possiamo facilmente trovare D2(f)(x) = 30(3x2+4)/(x2−4)3, che ha lo stesso segno di x2−4: il grafico ha concavità verso il basso in (−2, 2) e verso l'alto in (−∞, −2) e in (2, ∞). Notiamo, poi, che per x → ∞  f(x) → −3; quindi allo stesso valore tende per x → −∞. Abbiamo, dunque, che y = −3 è un asintoto orizzontale, sia destro che sinistro.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) -3*(x^2-9)/(x^2-4)
Plane(-6,6, -10,6); graph2(f, -7,7, "brown")