Determina, sperimentalmente, per quali numeri reali k il termine (√(1+x^k)−1)/x² è un infinitesimo per x → 0 e, quindi, trova per quale valore di k è un infinitesimo dello stesso ordine di x³.

Studiamo la situazione col computer (i calcoli qui sono fatti impiegando R), calcolando gli output corrispondenti agli input 0.1, 0.001, 0.0001, ….

f = function(x) (sqrt(1+x^k)-1)/x^2

z = c(1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5)
k = 0; f(z)
# 4.142136e+01 4.142136e+03 4.142136e+05 4.142136e+07 4.142136e+09
k = 1; f(z)
# 4.880885    49.875621   499.875062  4999.875006 49999.875000
k = 2; f(z)
# 0.4987562 0.4999875 0.4999999 0.5000000 0.5000000
k = 2.1; f(z)
# 0.3963785 0.3154737 0.2505936 0.1990536 0.1581135
k = 3; f(z)
# 4.998751e-02 4.999999e-03 5.000000e-04 5.000445e-05 4.440892e-06
k = 5; f(z)
# 4.999988e-04 5.000000e-07 4.440892e-10 0.000000e+00 0.000000e+00

Per k = 0 è un infinito dello stesso ordine di 1/x².
Per k = 1 è un infinito dello stesso ordine di 1/x.
Per k = 2 tende ad 1/2.
Per k > 2 è un infinitesimo.
Per k = 5 è un infinitesimo dello stesso ordine di x³.

# Graficamente
BF=4.5; HF=3.5; Plane(-2,2, -1.5,1.5)
k=0; graph1(f, -2,2, "red")
k=1; graph1(f, -2,2, "brown")
k=2; graph1(f, -2,2, "black")
k=3; graph1(f, -2,2, "seagreen")
k=4; graph1(f, -2,2, "blue")
k=5; graph1(f, -2,2, "cyan")