La curva C tracciata a destra ha equazione y = √x. Determina la distanza tra essa e il punto A evidenziato [considera come distanza tra due figure la lunghezza del più breve segmento che ha un estremo sulla prima e l'altro sulla seconda].

Innanzi tutto osserviamo che A = (1,0); infatti alla sua ascissa la funzione x → √x associa 1, e quindi essa deve valere 1. Sia P un generico punto di C. Devo provare la minima lunghezza che può assumere AP. L'idea è quella di cercare di esprimere la lunghezza di AP, ossia la distanza d(A,P) di A da P, in funzione di un unica variabile V e trovare quale valore deve assumere V affinché d(A,P) sia minima. La scelta più naturale è prendere come V la ascissa di P. Sia essa x; nel nostro caso deve essere x≥0. L'ordinata di P è quindi √x. Dunque:

d(A,P) = √((x_A–x_P)²+(y_A–y_P)²) = √((1–x)²+(√x)²) = √(1+x²–x); nell'ultimo passaggio abbiamo potuto trasformare (√x)² in x senza aggiungere la condizione x≥0 in quanto questa è già inclusa nel nostro problema.
x → √x è crescente, quindi √(1+x²–x) assume valore minimo quando lo assume 1+x²–x, nelle condizioni x≥0, 1+x²–x≥0.
y = 1+x²–x è una parabola con la concavità verso l'alto. Devo trovare la ascissa del suo vertice. Posso trovarla in vari modi. Uno, semplice, è, tenendo conto della simmetria della parabola rispetto alla retta verticale passante per il vertice, tagliare la parabola con una retta orizzontale e prendere la x del punto medio dei punti di intersezione, ovvero prendere il valor medio di due qualunque x in cui 1+x²–x assume lo stesso valore. 1+x²–x = 1+x(x–1) vale 1 per x=1 e per x=0, quindi il vertice ha x=1/2.
Un modo più spiccio è cercare il punto in cui la pendenza è zero: d(1+x²–x)/dx = 0.
d(1+x²–x)/dx = 2x–1 = 0 per x=1/2.
Dunque AP ha lunghezza minima se x_P = 1/2. In tal caso:
d(A,P) = √(1+(1/2)²–1/2) = √(1+1/4–1/2) = √(1–1/4) = √(4/4–1/4) = √(3/4) = √3/2 = 0.8660 (arrotondando).
Se osserviamo la figura, osserviamo che questa soluzione è in accordo con la nostra intuizione geometrica: per x=1/2 sembra effettivamente che AP raggiunga la lunghezza minima.

# Possiamo controllare la risposta con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# distPF(x,y, F, a,b)) calculates the distance between a point x,y
# and the graph of a 1-input-1-output function F in the domain a,b
F = function(x) sqrt(x); distPF(1,0, F, 0,10)
# dist. & nearest point (punto piu' vicino): 
#  0.8660254    0.5000000 0.7071068

Possiamo ottenere tutto molto semplicemente con lo script online "dist. P-curve" recuperabile qui, avendo preso come "x(t)" e "y(t)":

function x(t) { with(Math) {
return  t
}}
function y(t) { with(Math) {
return  sqrt(t)
}}

Innanzi tutto osserviamo che A = (1,0); infatti alla sua ascissa la funzione x → √x associa 1, e quindi essa deve valere 1. Sia P un generico punto di C. Devo provare la minima lunghezza che può assumere AP. L'idea è quella di cercare di esprimere la lunghezza di AP, ossia la distanza d(A,P) di A da P, in funzione di un unica variabile V e trovare quale valore deve assumere V affinché d(A,P) sia minima. La scelta più naturale è prendere come V la ascissa di P. Sia essa x; nel nostro caso deve essere x≥0. L'ordinata di P è quindi √x. Dunque:
d(A,P) = √((x_A–x_P)²+(y_A–y_P)²) = √((1–x)²+(√x)²) = √(1+x²–x); nell'ultimo passaggio abbiamo potuto trasformare (√x)² in x senza aggiungere la condizione x≥0 in quanto questa è già inclusa nel nostro problema. x → √x è crescente, quindi √(1+x²–x) assume valore minimo quando lo assume 1+x²–x, nelle condizioni x≥0, 1+x²–x≥0.
y = 1+x²–x è una parabola con la concavità verso l'alto. Devo trovare la ascissa del suo vertice. Posso trovarla in vari modi. Uno, semplice, è, tenendo conto della simmetria della parabola rispetto alla retta verticale passante per il vertice, tagliare la parabola con una retta orizzontale e prendere la x del punto medio dei punti di intersezione, ovvero prendere il valor medio di due qualunque x in cui 1+x²–x assume lo stesso valore. 1+x²–x = 1+x(x–1) vale 1 per x=1 e per x=0, quindi il vertice ha x=1/2. Un modo più spiccio è cercare il punto in cui la pendenza è zero: d(1+x²–x)/dx = 0.
d(1+x²–x)/dx = 2x–1 = 0 per x=1/2. Dunque AP ha lunghezza minima se x_P = 1/2. In tal caso: d(A,P) = √(1+(1/2)²–1/2) = √(1+1/4–1/2) = √(1–1/4) = √(4/4–1/4) = √(3/4) = √3/2 = 0.8660 (arrotondando). Se osserviamo la figura, osserviamo che questa soluzione è in accordo con la nostra intuizione geometrica: per x=1/2 sembra effettivamente che AP raggiunga la lunghezza minima.