Una funzione F ha un grafico che in ogni suo punto (x,y) ha tangente con pendenza uguale a -x/y. Che forma ha il grafico di F? [esprimila a parole]

La pendenza del grafico in ogni suo punto P deve coincidere con la pendenza di un segmento perpendicolare ad OP. L'unica possibilità è che il grafico sia parte di un cerchio centrato in O = (0,0), collocata nel semipiano y≥0 (come nella figura a lato) o y≤0.

È un tipico esercizio che intreccia aspetti teorici, aspetti operativi e intuizione spaziale. Non è affatto facile, ma può offire spunti per discussioni collettive con gli alunni. Di fronte a questo quesito in un test somministrato (nel 2004) a 45 alunni di 5ª superiore nessuno è riuscito a rispondere. Il 60% ha preferito non rispondere, gli altri in maggioranza (33%) hanno detto che si tratta di una retta (in genere con pendenza negativa e passante per l'origine); altri hanno detto che non esiste o che è un'iperbole.