(1) Trovare una funzione F a input e output in R e un intervallo I di R, il più ampio possibile, tali che F sia derivabile in I,
(2) Sia G la funzione derivata di F. Determinare l'area della figura compresa tra il grafico di G e le rette y = 0, x = 1 e x = 2.
(1) d log(x) / dx = 1/x, ma x → log(x) non è definita per x= Hanno la stessa derivata, e sono definte in d (log(−x)+k) / dx = 1/x. [ L'insieme dei termini F(x) tali che F'(x) = 1/x spesso viene indicato in questo modo: F(x) = log(|x|) + k o, più correttamente: F(x) = log(x) + k1 se x>0, F(x) = log(−x) + k2 se x<0 (k1 e k2 possono essere diversi). Nel nostro caso siamo interessati solo alle funzioni definite in un intervallo, mentre il termine log(|x|) è definito in un intervallo "bucato" in 0; dobbiamo restringerci a (−∞,0), in cui log(|x|) coincide con Tra le F: x → log(−x)+k quella che vale 1 per x=−1 è F(x) = | |
(2) G(x) = F'(x). Dobbiamo calcolare: | ∫[−2,−1] G | = | F(−1)−F(−2) | = | log(1)−log(2) | = log(2) (= 0.69314718 ). |
Controllo dell'esercizio con R.
Il campo direzionale, e la curva soluzione, ottenuti con i comandi diredif e soledif:
L'area richiesta, calcolata mediante integrazione (comando integral), e tracciata col comando diseq2:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") Dy <- function(x,y) 1/x BF=4; HF=3; Plane(-5,3, -2,3) diredif(-5,3, -2,3, 25,20) soledif(-1,1,0,1e4,"blue"); soledif(-1,1,-5,1e4,"blue") # G = function(x) 1/x; abs( integral(G, -2,-1) ) # 0.6931472 Plane(-2.5,0.5, -2,1/2) graph(G, -3,1, "brown") line(-2,-10,-2,10, "red"); line(-1,-10,-1,10, "red") P = function(x,y) -2 <= x & x <= -1 & 1/x <= y & y <= 0 diseq2(P,0, "red") # coloro di rosso dove P > 0, ossia dove è vera