Determina la velocità di variazione di h rispetto a V e tracciane il grafico.
Il volume è V = π(h/2)2·h/3 = π·h3/12. Quindi: h = (12 V/π)1/3
dh / dV = (12/π)1/3 V-2/3/3 ovvero (2/3)2/3/(π1/3·V2/3)
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In un recipiente di forma conica viene introdotto del liquido. Il cono ha altezza 2 e raggio 1. Sia V il volume del liquido immesso e sia h il relativo livello. Determina la velocità di variazione di h rispetto a V e tracciane il grafico. | | ||
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I successivi coni formati dal liquido hanno la stessa forma del recipiente. Il rapporto tra altezza e raggio di tutti i coni è 2. Quindi il cono d'acqua di altezza h ha raggio h/2. Il volume è V = π(h/2)2·h/3 = π·h3/12. Quindi: h = (12 V/π)1/3 dh / dV = (12/π)1/3 V-2/3/3 ovvero (2/3)2/3/(π1/3·V2/3) | |||
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# I grafici (e i calcoli) con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
V = function(h) pi*h^3/12
h = function(V) (12*V/pi)^(1/3)
V(2) # volume del cono di altezza 2
# 2.094395
HF=3; BF=3; Plane(0,2.2, 0,2); graph(h, 0,V(2), "brown")
abovex("V"); abovey("h")
vh = function(V) eval(deriv(h,"V")) # vel. var. di h(V)
vh(0.1) # velocita' per V piccolo (per scegliere la scala vericale)
# 2.418554
Plane(0,2.2, 0,3); graph(vh, 0,V(2), "brown")
abovex("V"); abovey("vel. variaz. di h")