Studia dove crescono/decrescono, determina l'insieme immagine e schizza il grafico delle seguenti funzioni (prendi come dominio l'insieme di tutti gli x per i quali il termine generico, f(x), g(x) o h(x), è definito; per lo studio di h prendi per buono, ma verificalo con una rappresentazione grafica mediante computer, che x → (x−sin(x))/x3 decresce per x≥0):
  f(x) = cos(x)2 + cos(x)     g(x) = √(x3 − x)     h(x) = exp(sin(x) − x)1/x3

f(x) = cos(x)2 + cos(x)

f è definita ovunque in quanto cos è definta ovunque. Siccome il valore di f(x) è funzione di quello di cos(x) e cos ha periodo 2π, anche f ha periodo 2π (ed eventualmente anche un sottomultiplo di questo). Posso quindi restringermi a studiare f in un intervallo di ampiezza 2π.
Osservo, poi, che cos(-x) = cos(x), per cui anche f(-x) = f(x), ossia f è pari, e ha grafico simmetrico rispetto all'asse y. Posso quindi studiare f solo in [0,π]: per la parità posso dedurne l'andamento anche in [-π,0], e quindi, per la periodicità, quello in tutto R.
f è continua e derivabile ovunque. Per studiare dove cresce/decresce mi conviene derivare:
f'(x) = Dx(cos(x)2 + cos(x)) = −2 cos(x) sin(x) − sin(x) = −sin(x) (2 cos(x) + 1)
f'(x) = 0 se sin(x) = 0 ossia (in [0,π]) se x=0 o x = π,
    o se cos(x) = −1/2 ossia se x = 120° = 2π/3.
in (0,π) sin è positivo, per cui f'(x) > 0 esattamente quando cos(x) < −1/2, ossia per x > 2π/3.
In definita f descresce in [0,2π/3] e cresce in [2π/3,π]. Per simmetria cresce in [-2π/3,0] e decresce in [-π,2π/3].
Tenendo conto della periodicità, il grafico di f ha il seguente andamento:

f assume valore massimo in 0 (e in 2kπ con k intero), pari a f(0) = 2, e valore minimo in 2π/3 (e in ±2π/3+2kπ con k intero), pari a f(2π/3) = 1/4−1/2 = −1/4, per cui l'immagine di f è l'intervallo [−1/4, 2]. In π (e in π+2kπ con k intero) f ha un massimo relativo.

Non era richiesto lo studio della concavità, comunque in questo caso non sarebbe stato difficile. Dalla collocazione di punti di minimo e di massimo relativi e dal fatto che la funzione ha derivata continua ci si aspetta che vi siano almeno due cambiamenti di concavità (ossia in cui cambia la crescenza/decrescenza della pendenza), che posso trovare studiando dove cambia segno f". f"(x) = -4cos(x)2-cos(x)+2 = 0 per cos(x) = -1/8±√33/8; ricavo, applicando l'arcocoseno, che le ascisse dei due punti di flesso sono circa 0.9359295 e 2.5737633, con collocazione che è in accordo col grafico schizzato (uno tra 0 e 2π/3, l'altro tra 2π/3 e π).

g(x) = √(x3 − x)

g(x) è definito quando x3 − x ≥ 0; x3 − x = (x2−1)x è maggiore o uguale a 0 quando i termini di questo prodotto non hanno segno opposto:
(x ≥ 0 AND x2 ≥ 1) OR (x ≤ 0 AND x2 ≤ 1), che equivale a:
(0 ≤ x AND (x ≤ -1 OR 1 ≤ x)) OR (x ≤ 0 AND -1 ≤ x ≤ 1), che equivale a:
(1 ≤ x) OR ( -1 ≤ x ≤ 0), ossia x [-1,0] U [1,∞].

Posso controllare facilmente quanto ottenuto pensando al grafico di y = x3−x, che mi è facile ricostruire (su carta o mentalmente) pensando a quello di y = x3 variato verticalmente di -x, e in modo da tagliare l'asse x quando x3 equivale a x, ossia per x=1 e x=-1. Vedi figura a lato.

Essendo √ una funzione crescente l'andamento del grafico di g, dal punto di vista di crescenza/decrescenza, deve essere lo stesso di quello della parte sopra all'asse x del grafico di y = x3−x. In particolare tra -1 e 0 vi sarà sicuramente un punto di massimo relativo; a destra di 1 la funzione crescerà, ma a priori non sappiamo se sarà illimitata superiormente come lo è la funzione di cui viene fatta la radice.		  

La risposta a ciò è immediata: per x>0 √(x3−x) = x√(x−1/x) → ∞ con lo stesso ordine di x3/2. Quindi l'immagine di g è [0, ∞).
Per trovare il punto di massimo relativo basta trovare quello di x → x3−x; Dx(x3−x) = 3x3-1 = 0 per x = -1/√3 = (circa) -0.58 (sono in [-1,0] per cui escludo x=1/√3).
Per tracciare meglio il grafico di g possiamo porci il problema degli angoli che il grafico forma con l'asse x (a priori potrebbero essere di 90°, di 0° o avere un valore assoluto compreso tra questi due). Verifichiamo che, vedi figura a lato, si tratta di angoli di 90°. 		 
Per fare questo calcolo g'(x) e ne studio il comportamento per x che tende a -1 da destra, a 0 da sinistra e a 1 da destra. g'(x) = (3x2−1)/g(x)/2. g(x) in tali punti si azzera, 3x2−1 no, per cui i limiti cercati sono ∞ o -∞ a seconda dei casi.

h(x) = exp(sin(x) − x)1/x3 = (esin(x)−x)1/x3

I valori dell'esponenziale sono positivi, per cui l'elevamento a 1/x3 è definito ovunque, tranne che per x=0: R−{0} è il dominio di h.
Ci conviene trasformare h(x) facendo sparire l'elevamento a potenza: usiamo il "trucco" v = exp(log(v)):
h(x) = exp(log(f(x)) = exp(log( exp(sin(x) − x)1/x3 )) = exp(1/x3·(sin(x) − x)) = exp((sin(x) − x)/x3)

Sicuramente la nostra funzione ha valori positivi in quanto exp ha valori positivi.
Inoltre è pari in quanto h(-x) = exp((sin(-x)-(-x)/(-x))3) = exp(-(sin(x)-x)/-(x3)) = h(x).

Vediamo come si comporta agli estremi degli intervalli che ne formano il dominio.
Per x → 0+ sin(x)-x = -1/6 x3 + o(x3) per cui h(x) → exp(-1/6) = 1 / 6√e.
Per simmetria si ha lo stesso limite per → 0-; la funzione è dunque prolungabile per continuità in 0.
[se non sappiamo / non ricordiamo che sin(x) = x-1/6x3+o(x3) possiamo studiare (sin(x) − x)/x3 per x → 0 ricorrendo al teorema dell'Hopital]

Per x → ∞ (sin(x)-x)/x3 = (-x+o(x))/x3 ha lo stesso limite di -x/x3 = -1/x2, che tende a 0.
Quindi h(x) tende ad exp(0) = 1. Stesso limite per x → -∞

In definitva il grafico passa per (0, 1 / 6√e), dove può essere prolungato per continuità, e procede sia verso destra che verso sinistra stabilizzandosi asintoticamente sulla retta y = 1.
Per capire se cresce/descresce, in quanto exp cresce, possiamo ricondurci allo studio dell'andamento di x → (sin(x) − x)/x3. Dando per buono che x → (x − sin(x))/x3 decresca a destra di 0, abbiamo che ivi x → (sin(x) − x)/x3 cresce (in quanto ottenuta dalla precedente coponendola con la funzione negazione, x → −x, che è decrescente), e che quindi cresce anche h; per simmetria, a sinistra di 0 ha decresce. Il suo grafico ha, quindi, la forma sotto raffigurata, a destra; il grafico è stato realizzato con pendenza "in 0" nulla, o, meglio, come se la pendenza h'(x) del grafico di h in x tendesse ad essere 0 per x → 0+ e per x → 0-; in effetti la cosa è così, ma non è banale la dimostrazione. In ogni caso possiamo concludere che l'immagine di h è l'intervallo (0,1).

Sopra, a sinistra, il grafico (per x > 0) di x → (sin(x) − x)/xN per N = 1, 2, 3.