Voglio costruire una scatola tagliando da una lamiera rettangolare di dimensioni 20 cm × 10 cm quattro quadratini e operando successive piegature e saldature: vedi figura. Come devo effettuare il taglio per ottenere il massimo volume?

Mi esprimo in cm.  V = AreaBase·Altezza = (20-2x)(10-2x)x Come dominio di V devo prendere i valori di x compresi tra 0 e 5 (non posso tagliare quadratini di lato maggiore di 5 in quanto una delle dimensioni della lamiera è 10). Posso schizzare il grafico di V (V(x)=0 per x uguale a 0, 5 e 10). Il massimo corrisponde al punto in cui il grafico (per x in (0,5) ha pendenza nulla. Per calcolare D(V) mi conviene sviluppare V(x): 4x3-60x2+200x V'(x) = 12x2-120x+200 = 4(3x2-30x+50) 3x2-30x+50 = 0 per x = 5 ± 5/√3; la soluzione in (0,5) è 5 − 5/√3 = 2.113248..., che, realisticamente, arrotondo ai decimi di millimetro: 2.11 cm.

# Grafico e calcoli con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
V = function(x) (20-2*x)*(10-2*x)*x
BF=3; HF=2.5
graph1F(V, 0,10.5, "grey")
graph1(V, 0,10, "brown")
graph(V, 0,5, "brown")
text(4.5,150,"V")
m = maxmin(V,0,5); m; V(m)
#    2.113249   192.4501

In alternativa posso usare gli script online "max/min of fun." recuperabili qui, avendo preso, ad esempio, come "F(x)" il volume della scatola: (20-2*x)*(10-2*x)*x.

# max

Se il taglio è 2.11 centimetri si ha il volume massimo, di 192 cm³.