[Traccia: indica con x la distanza in km di BC dal punto di biforcazione P e cerca di esprimere la lunghezza L della strada in funzione di x]
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Tre località A, B e C sono disposte, approssimativamente, ai vertici di un
triangolo isoscele: B e C distano tra loro 20.0 km e sono equidistanti da A;
A dista 24.0 km dalla
congiungente di B e C. Si vuole costruire una strada ad "Y" che colleghi le
tre località e sia la più breve possibile. Quale deve essere il suo
tracciato? [Traccia: indica con x la distanza in km di BC dal punto di biforcazione P e cerca di esprimere la lunghezza L della strada in funzione di x] |
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L(x) = AP + 2PC = (24-x) + 2√(x2 + 102) =
2√(x2 + 100) − x + 24
[x varia tra 0 e 24] L(0) = 44, L(24)= 52 L'(x) = 2/(2√(x2+100)) · 2x - 1 L'(0) = -1, L'(24) = 11/13 L'(x) = 0 per 2x = √(x2+100), ossia 4x2 = x2+100, ossia 3x2 = 100, ossia (in quanto consideriamo x > 0) x = 10/√3 = 5.7735026... Qui L(x) assume il valore minimo (a sinistra L'(x)<0, a destra L'(x)>0); dato che le distanze note erano approssimate ai decimi (di chilometro) approssimo ai decimi. Concludendo conviene prendere x = 5.8 (km). |  |
Grafico e calcoli col software online www.WolframAlpha.com. Vedi qui.
# Con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
L = function(x) 24-x+2*sqrt(x^2+100)
BF=3; HF=2.5; graph2F(L, 0,24, "brown"); abovex("x"); abovey("L")
m = maxmin(L, 0,24); m; L(m)
# 5.773503 41.32051
POINT(m,L(m), "blue")