A destra sono tracciati i grafici di una funzione F che ha grafico rettilineo passante per (0,6) e per (1/2,0) e i grafici di tre funzioni G, H e K che hanno grafico passante per (0,0). Le quattro funzioni sono tali che D(G) = F, D(H) = G, D(K) = H. (1)  Associa ad F, G, H e K il grafico relativo. (2)  Come è la concavità del grafico D nei punti in cui ha pendenza nulla? (3)  Determina l'espressione di F(x), G(x), H(x) e K(x).

(1)  F ha evidentemente B come grafico. Una funzione G che abbia F come derivata deve avere grafico con pendenza nulla dove F ha valore nullo, ossia dove il suo grafico, B, taglia l'asse x. L'unico grafico che ha questa caratteristica è C: questo è il grafico di G. Una funzione H che abbia G come derivata deve avere grafico con pendenza nulla nei punti in cui C taglia l'asse x, ossia la curva A. Una funzione K che abbia H come grafico, per esclusione, deve avere D come grafico. E in effetti questo ha pendenza nulla dove A e l'asse x si intersecano.

(2)  D è il grafico di K; ha pendenza nulla dove A interseca l'asse x, ossia in 0 e in 1.5 (o in un valore vicino a 1.5: lo controlleremo dopo aver affrontato il punto (3) del quesito).
In 1.5 la concavità è rivolta verso il basso (ha un "dosso"), infatto la pendenza (vedi il grafico A intorno a 1.5) sta diminuendo.
In 0 la pendenza passa da una situazione in cui sta diminuendo (il grafico A a sinistra dell'asse y) a una in cui sta crescendo (il grafico A a destra dell'asse y): qui il grafico non ha nè un dosso né una "cunetta", ma un cambio di concavità.
(3)  B ha pendenza Δy/Δx = (-6)/(1/2) = -12 e passa per (0,6), quindi si tratta della retta y = -12x+6; dunque F(x) = -12x+6.
Una funzione G che abbia F come derivata deve essere una funzione polinomiale di grado 2. Per ottenere -12x devo derivare qualcosa che inizi con -6x², infatti D_x(6x²) = -6·D_x(x²) = -6·2x = 12x.
Per ottenere 6 devo derivare qualcosa che incominci con 6x, infatti D_x(6x) = 6·D_x(x) = 6·1 = 6.
Dunque D_x(-6x²+6x) = -12x+6.
Anche D_x(-6x²+6x+...) = -12x+6 se al posto di ... metto una costante qualunque (la derivata di una costante è nulla), ma affinchè il grafico di G sia C, che passa per (0,0), devo prendere solo -6x²+6x.
Dunque G(x) = -6x²+6x.  H(x) che abbia questa come derivata può essere del tipo -2x³+3x²+costante, infatti D_x(-2x³+3x²+costante) = D_x(-2x³) + D_x(3x²) + D_x(costante) = -6x²+6x+0. Affinché il grafico di H sia A, che passa per (0,0), devo prendere 0 come costante.
Dunque H(x) = -2x³+3x².  K(x) che abbia questa come derivata può essere del tipo -x⁴/2+x³+costante, infatti D_x(-x⁴/2+x³+costante) = D_x(-(1/2)·x⁴) + D_x(x³) + D_x(costante) = -2x³+3x²+0. Affinché il grafico di K sia D, che passa per (0,0), devo prendere 0 come costante.  Dunque K(x) = -x⁴/2+x³.
[Controlliamo se A taglia l'asse x proprio per x=1.5: è il grafico di H, che taglia l'asse x quando -2x³+3x²=0
(-2x+3)x²=0 per x=0 e per x=3/2=1.5: OK]