So che F(2) = 2 e F'(2) = 3. Quanto valgono  (1) D_t=2 (t²·F(t))  (2) D_y=2 (y²/F(y))?

Il nome dato alla variabile indipendente (y, t o x) non entra in gioco. Facciamo i calcoli come se fosse in ogni caso y.
(1) y → (y², F(y)) → y² · F(y)
La derivata prima calcolata in y è   y·(y·F'(y)+2·F(y))
che per y=2, F(y)=2, F'(y) = 3 vale 2·(2·3+2·2) = 20
(2) y → (y², F(y)) → y² / F(y)
La derivata prima calcolata in y è   y·(2·F(y)−y·F'(y)))/F(y)²
che per y=2, F(y)=2, F'(y) = 3 vale 2·(2·2−2·2))/2² = −1
Volendo posso controllare i calcoli con WolframAlpha, introducendo:
d(y^2/f(y))/dy
d(y^2*f(y))/dy

Richiami qui.