Quanto vale  lim x → 0 (sin(3x)−3·sin(x)) / (sin(x)3−x4)

Graficamente e/o numericamente (con R - vedi) è facile convincersi che il limite sia −4:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) (sin(3*x)-3*sin(x))/(sin(x)^3-x^4)
BF=3; HF=3; graphF(f,-1/2,1/2, "brown")
pointO(0,-4,"blue")
f(10^-(1:5))
# -4.446922 -4.040406 -4.004004 -4.000400 -4.000038

 

    Vediamo come dimostarlo direttamente. Osserviamo che numeratore e denominatore, per x → 0, tendono a 0. Approssimiamo sin con dei polinomi. Provo con sin(x) ≈ x:

(sin(3*x)-3*sin(x))/(sin(x)^3-x^4) =
(3*x-3*x+o(x))/((x+o(x))^3+x^4) = o(x)/o(x)
Non posso concludere niente perché ho il rapporto tra due infinitesimi che so solo essere di ordine superiore ad x.  Provo ad approssimare sin con più precisione: sin(x) ≈ x−x³/6:
sin(3*x)-3*sin(x) = 3*x-27*x^3/6-3*(x-x^3/6)+o(x^3) =
-9*x^3/2+x^3/2+o(x^3) = -4*x^3+o(x^3)
sin(x)^3-x^4 = (x-x^3/6+o(x^3))^3+x^4 = x^3+o(x^3) 
(sin(3*x)-3*sin(x))/(sin(x)^3-x^4) ≈ -4*x^3/x^3 = -4