Quanto vale lim x → 0 (sin(3x)−3·sin(x)) / (sin(x)3−x4)
Graficamente e/o numericamente (con R - vedi) è facile convincersi che il limite sia −4: source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f = function(x) (sin(3*x)-3*sin(x))/(sin(x)^3-x^4) BF=3; HF=3; graphF(f,-1/2,1/2, "brown") pointO(0,-4,"blue") f(10^-(1:5)) # -4.446922 -4.040406 -4.004004 -4.000400 -4.000038 |
Vediamo come dimostarlo direttamente. Osserviamo che numeratore e denominatore, per x → 0, tendono a 0. Approssimiamo sin con dei polinomi. Provo con sin(x) ≈ x:
(sin(3*x)-3*sin(x))/(sin(x)^3-x^4) = (3*x-3*x+o(x))/((x+o(x))^3+x^4) = o(x)/o(x)Non posso concludere niente perché ho il rapporto tra due infinitesimi che so solo essere di ordine superiore ad x. Provo ad approssimare sin con più precisione: sin(x) ≈ x−x³/6:
sin(3*x)-3*sin(x) = 3*x-27*x^3/6-3*(x-x^3/6)+o(x^3) = -9*x^3/2+x^3/2+o(x^3) = -4*x^3+o(x^3) sin(x)^3-x^4 = (x-x^3/6+o(x^3))^3+x^4 = x^3+o(x^3) (sin(3*x)-3*sin(x))/(sin(x)^3-x^4) ≈ -4*x^3/x^3 = -4
Potremmo studiare il limite utilizzando lo script "funct.(tab/limit)" (modificando opportunamente "F"):
y = (sin(3*x)-3*sin(x))/(pow(sin(x),3)-pow(x,4)) x 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5 F(x) -4.04040608106889, -4.004004005934317, -4.00040004402319, -4.000037897506584