Cerca di capire quali di queste "regole" devi usare per calcolare le derivate rispetto ad x delle seguenti funzioni, quindi prova a calcolarle e controlla le risposte con R o con WolframAlpha.

(A)  x²·sin(x)     (B)  tan(x)    (C)  x²/(x⁴+1)     (D)  exp(sin(x))     (E)  sin(x)ⁿ     (F)  exp(−x²)     (G)  sqrt(1+sin(x)²)     (H)  asin(x)     (I)  atan(x)     (J)  log(k·x)     (K)  x²·log(x)     (L)  log(tan(x/2))

(A) devo usare la regola di derivazione del prodotto:
d( x^2*sin(x) ) / dx = d x^2 / dx * sin(x) + x^2 * d sin(x) / dx = 2*x*sin(x) + x^2*cos(x)
Con WolframAlpha:
d( x^2*sin(x) ) / dx  ->  x*(2*sin(x)+x*cos(x))
Con R :
D(expression( x^2*sin(x) ),"x")  ->  2*x*sin(x)+x^2*cos(x)

(B) devo usare la regola di derivazione del rapporto:
d (sin(x)/cos(x)) / dx = ( d sin(x) / dx * cos(x) - sin(x) * d cos(x) / dx ) / cos(x)^2 =
  (cos(x)^2 + sin(x)^2) / cos(x)^2 = 1/cos(x)^2  ovvero:
   1 + tan(x)^2
Con WolframAlpha:
d tan(x) / dx   ->   sec^2(x)
Con R :
D(expression( tan(x) ),"x")  -> 1/cos(x)^2

(C) devo usare la regola di derivazione del rapporto:
d x^2/(x^4+1) / dx = ( d x^2 / dx * (x^4+1) - x^2 * d (x^4+1) / dx ) / (x^4+1)^2 =
  (2*x^5+2*x-4*x^5) / (x^4+1)^2 = 2*x*(1-x^4) / (x^4+1)^2
Con WolframAlpha:
d x^2/(x^4+1) / dx   ->   -(2*x*(x^4-1))/(x^4+1)^2
Con R :
D(expression( x^2/(x^4+1) ),"x")   ->   2*x/(x^4+1)-x^2*(4*x^3)/(x^4+1)^2
  che manipolo ...   ->   2*x*(1-x^4) / (x^4+1)^2

(D) devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte:
d exp(sin(x)) / dx = d exp(sin(x)) / d(sin(x)) * d(sin(x)) / dx = exp(sin(x))*cos(x)
Con WolframAlpha:
d exp(sin(x)) / dx   ->   e^(sin(x))*cos(x)
Con R :
D(expression( exp(sin(x)) ),"x")   ->   exp(sin(x))*cos(x)

(E) devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte:
d sin(x)^n / dx = d sin(x)^n / d sin(x) * d sin(x) / dx = n*sin(x)^(n-1) * cos(x)
Con WolframAlpha:
d sin(x)^n / dx   ->   n*cos(x)*sin^(n-1)(x)
Con R :
D(expression( sin(x)^n ),"x")   ->   sin(x)^(n - 1) * (n * cos(x))

(F) devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte:
d exp(-x^2) / dx = d exp(-x^2) / d(-x^2) * d(-x^2) / dx = -2*x*exp(-x^2)
Con WolframAlpha:
d exp(-x^2) / dx   ->   -2*e^(-x^2)*x
Con R :
D(expression( exp(-x^2) ),"x")   ->   -(exp(-x^2) * (2 * x))

(G) devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte:
d sqrt(1+sin(x)^2) / dx =
  d sqrt(1+sin(x)^2) / d(1+sin(x)^2) * d(1+sin(x)^2) / d sin(x) * d sin(x) / dx = 
  1/(2*sqrt(1+sin(x)^2)) * 2*sin(x) * cos(x) = sin(x)*cos(x)/sqrt(1+sin(x)^2)
Con WolframAlpha:
d sqrt(1+sin(x)^2) / dx   ->   (sin(x)*cos(x))/sqrt(sin^2(x)+1)
Con R :
D(expression( sqrt(1+sin(x)^2) ),"x")  ->  0.5*2*cos(x)*sin(x)*(1+sin(x)^2)^-0.5

(H) devo usare la regola di derivazione delle funzioni inverse:
d y / dx = 1 / (dx / dy)
Dx asin(x) = 1/Dy sin(y) = 1/cos(y) = 1/cos(asin(x)) =
  1/srqt(1-sin(asin(x))^2) = 1/sqrt(1-x^2)
Con WolframAlpha:
d asin(x) / dx   ->   1/sqrt(1-x^2)
Con R :
D(expression( asin(x) ),"x")  ->   1/sqrt(1-x^2)

(I) devo usare la regola di derivazione delle funzioni inverse:
Dx atan(x) = 1/Dy tan(y) = 1/(1+tan(y)^2) = 1/(1+x^2)
Con WolframAlpha:
d atan(x) / dx   ->   1/(x^2+1)
Con R :
D(expression( atan(x) ),"x")   ->   1/(1+x^2)

(J) devo usare la regola di derivazione delle funzioni composte:
d log(k*x) / dx = d log(k*x) / d(k*x) * d(k*x)/dx = 1/(k*x) * k = 1/x
Con WolframAlpha:
d log(k*x) / dx   ->   1/x
Con R :
D(expression( log(k*x) ),"x")   ->  k/(k*x)
  che semplifico (se k ≠ 0) ...

(K) devo usare la regola di derivazione della funzione prodotto:
d x^2*log(x) / dx  = d x^2 / dx * log(x) + x^2 * d log(x) / dx =
  2*x*log(x) + x^2/x = x + 2*x*log(x)
Con WolframAlpha:
d x^2*log(x) / dx    ->   x+2*x*log(x)
Con R :
D(expression( x^2*log(x) ),"x")   ->  2*x*log(x)+x^2*(1/x)

(L) devo usare la regola di derivazione della funzione composta:
d log(tan(x/2)) / dx = d log(tan(x/2)) / d(tan(x/2)) * d(tan(x/2)) / dx =
  1/tan(x/2) / cos(x/2)^2 = 1/(sin(x/2)*cos(x/2)) = 1/sin(x)
  (ho usato le formule di "duplicazione": vedi qui)
Con WolframAlpha:
d log(tan(x/2)) / dx   ->  csc(x)   (is the cosecant function) 
Con R :
D(expression( log(tan(x/2)) ),"x")    ->   1/2/cos(x/2)^2/tan(x/2)
  che trasformo in  1/(cos(x/2)*sin(x/2)*2) = 1/sin(x)

Per rivedere le regole di derivazione puoi vedere formule cliccando qui.