Calcolare (motivando) g'(1) dove g è la funzione inversa di f così definita:
(a) f(x) = x + x3 − 1 (b) f(x) = tan(x) (c) f(x) = x·|x|
I grafici (qui realizzati, sullo stesso sistema di riferimento, con questo script) ci consentono di inquadrare il problema:
(a) f(x) = x + x3 − 1.
f è invertibile in tutto R, infatti è la somma di due funzioni crescenti e una funzione costante; f(x) = 1 per x = 1; quindi: D y=1 (g(y)) = 1/D x=1 (f(x)) = [1/(1+3x2)] x=1 = 1/4. In figura, a conferma, si vede che nel punto di ordinata (e ascissa) 1 il grafico di f ha pendenza 4. |
(b) f(x) = tan(x).
f è invertibile in ciascun intervallo di ampiezza π centrato in nπ al variare di n in N;
per l'inversa in In (-π/2, π/2) tan(x)=1 per x = π/4: Dy=1 (g(y)) = 1/Dx=π/4 (f(x)) = [1/(1+tan(x)2)]x=π/4 = 1/2 Operando in un qualunque altro intervallo avremmo ottenuto lo stesso valore (sarebbe stato diverso il valore di x per cui tan vale 1, ma 1+tan(x)2 avrebbe comunque avuto valore 2). |
(c) f(x) = x·|x|.
f è crescente e quindi invertibile in tutto R in quanto per x ≥ 0 si comporta come
x2 e per x ≤ 0 come -x2. f(x) = 1 per x=1, dove f(x) = x2 Dy=1 (g(y)) = 1/Dx=1 (f(x)) = [1/(2x)]x=1 = 1/2. |
I tre grafici precedenti QUI, QUI e QUI .
Richiami qui.
# PER fare GRAFICI (e calcoli) con R: # source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") HF=2.6; BF=2.6 Plane(-2.5,2.5, -6,6) f=function(x) x+x^3-1; graph(f,-2.5,2.5, "brown") POINT(1,1, "red") df=function(x) eval(deriv(f,"x")); df(1) # 4 f1=function(x) (x-1)*4+1; graph1(f1, -2.5,2.5, "black"); POINT(1,1, "red") text(-1.2,4.5,"y=x+x^3-1",font=2,cex=0.88) # Plane(-2.5,2.5, -2.5,2.5) g=function(x) tan(x); graph(g,-2.5,2.5, "grey") graph(g,-pi/2,pi/2, "brown") w=solution(g,1, 0,1); w # 0.7853982 POINT(w,1, "red") dg=function(x) eval(deriv(g,"x")); dg(w) # 2 g1=function(x) (x-w)*2+1 graph1(g1, -2.5,2.5, "black"); POINT(w,1, "red") text(-1,1.5,"y=tan(x)",font=2,cex=0.88) # h=function(x) x*abs(x) Plane(-2.5,2.5, -2.5,2.5); graph(h,-2.5,2.5, "brown") # per calcolare con R le derivate occorre usare sqrt(x^2) invece di abs(x) h=function(x) x*sqrt(x^2) u=solution(h,1, 0,2); u # 1 POINT(1,1, "red") dh=function(x) eval(deriv(h,"x")); dh(1) # 2 h1=function(x) (x-1)*2+1; graph1(h1,-2.5,2.5, "black"); POINT(1,1, "red") text(-1,1.5,"y=x*|x|",font=2,cex=0.88)