Data l'equazione x = √y + 2y, schizzarne il grafico (nel piano x,y), esprimere y in funzione di x e calcolare dy/dx.

In tutto il suo dominio (y ≥ 0) la relazione è invertibile in quanto √y e 2y sono funzioni di y crescenti e, quindi, tale è la loro somma. Per y = 0 ho x = 0; quindi anche l'inversa ha come dominio [0,∞).
Il grafico della relazione inversa (y = √x+2x) è tracciato sotto a sinistra (in verde): ha la concavità rivolta verso il basso, come quello di y = √x (in quanto viene sommata una funzione, y=2x, che ha grafico rettilineo e quindi non produce cambiamenti nella concavità).
Sotto al centro è tracciato (in marrone) il grafico della equazione iniziale, richiesto nel quesito.

Per calcolare dy/dx esprimo y in funzione di x.

x = √y + 2y applico "-2y"

x − 2y = √y applico "^2"

x² + 4y² − 4xy = y applico "-y" e raggruppo

4y² − (4x+1)y + x² = 0 applico "/4"

y² − (x+1/4)y + x²/4 = 0 risolvo eq. di 2° grado

y = (x+1/4)/2 ± √(x+1/4)² − x²)/2 sviluppo e semplifico

y = x/2+1/8 ± √(x/2+1/16)/2 prendo quella che per x=0 dà y=0

y = x/2+1/8 − √(x/2+1/16)/2 semplifico

y = ( 4x + 1 − √(8x + 1) ) / 8

Posso controllare la soluzione con WolframAlpha introducendo solve x = sqrt(y) + 2*y for y

L'ultima equazione (y = (4+…)/8, ristretta a x ≥ 0, ha il grafico marrone. La scelta operata nel penultimo passaggio - tra le due equazioni abbiamo scelto quella col grafico che passa per (0,0) - corrisponde alla scelta della parte inferiore, con la concavità verso l'alto, della parabola raffigurata sopra a destra.

dy/dx = (4 − [1/(2√u)]_u=8x+18)/8 = 1/2-1/(2√(8x+1))

Posso controllare la soluzione con WolframAlpha introducendo D( 1/8*(4*x-sqrt(8*x+1)+1) )

Richiami qui.

Come potrei trovare asse e vertice della parabola? Vi sono vari modi per farlo; vediamone uno particolarmente semplice, per la nostra situazione.
Faccio il limite di dy/dx per x → ∞; in questo modo trovo la pendenza dell'asse di simmetria. È facile veder che tale limite è 1/2, dunque l'asse (nel piano x,y) ha pendenza 1/2 (e nel piano y,x pendenza 2).

Nel vertice la tangente è perpendicolare all'asse, l'opposto del reciproco di 1/2 è -2, per cui la y del vertice deve essere tale che:
1/2-1/(2√(8x+1)) = -2, da cui:

1/(2√(8x+1)) = 2+1/2
√(8x+1) = 1/5
8x+1 = 1/25
x = -3/25 da cui, sostituendo, y = 1/25.
Questo è il vertice.
L'asse è y = 1/2(x+3/25)+1/25 = x/2 + 0.1.

Potremmo trovare anche vertice, fuoco, direttrice, … della parabola anche mettendo 4*y^2 - (4*x+1)*y + x^2 = 0 in WolframAlpha e cliccando "Properties"

# Come ottenere le figure con R
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
PLANE(-0.2,1, -0.2,1)
f = function(x) sqrt(x)+2*x; U = function(x,y) f(y)-x
CURVE(U, "brown"); AboveY("x",0); aboveX("y",0); aboveX("x=sqrt(y)+2*y",0.7)
K = function(x,y) x^2+4*y^2-4*x*y-y
CUR(K, "red"); CURVE(U, "brown")
A = function(x) x/2+0.1; graph2(A, -1,3, "red")
POINT(-3/25, 1/25, "black")

x = √y + 2y	applico "-2y"
x − 2y = √y	applico "^2"
x² + 4y² − 4xy = y	applico "-y" e raggruppo
4y² − (4x+1)y + x² = 0	applico "/4"
y² − (x+1/4)y + x²/4 = 0	risolvo eq. di 2° grado
y = (x+1/4)/2 ± √(x+1/4)² − x²)/2	sviluppo e semplifico
y = x/2+1/8 ± √(x/2+1/16)/2	prendo quella che per x=0 dà y=0
y = x/2+1/8 − √(x/2+1/16)/2	semplifico
y = ( 4x + 1 − √(8x + 1) ) / 8