Studia il limite per  x → ∞ di  (1 + 1/x)^x,  di  (1 + 1/x)^√x  e di  (1 + 1/x)^x2.

Vedi sotto per uno studio sperimentale usando uno script online.

Se sappiamo già che lim _{x → ∞} (1 + 1/x)^x = e (vedi), il primo limite è già studiato.
Altrimenti, essendo di fronte a un termine del tipo f(x)^g(x) con f(x)→1 e g(x)→∞, ossia a un limite del tipo 1^∞ che a priori non posso stabilire come si comporti, posso usare il trucco di trasformare il termine T nella forma exp(log(T)) in modo da poter eliminare l'elevamento alla potenza usando le proprietà del logaritmo:
(1 + 1/x)^x = exp(log((1 + 1/x)^x)) = exp(x·log(1 + 1/x)) = exp( log(1 + 1/x) / (1/x) )
So che, per u → 0, log(1 + u) = u + o(u), ossia che log(1 + u)/u → 1; quindi, per x → ∞, exp( log(1 + 1/x) / (1/x) ) → exp(1) = e.

Per gli altri limiti posso usare lo stesso trucco:
(1 + 1/x)^√x = exp(log((1 + 1/x)^√x)) = exp(√x·log(1 + 1/x)) = exp( log(1 + 1/x) / (1/√x) ) → exp(0) = 1 in quanto log(1 + u) = u + o(u) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a √u = u^1/2.

(1 + 1/x)^x2 = exp(log((1 + 1/x)^x2)) = exp(x²·log(1 + 1/x)) = exp( log(1 + 1/x) / (1/x²) ) → ∞ in quanto log(1 + u) = u + o(u) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a u² per cui mi riconduco a un termine del tipo exp(t) con t → ∞, che tende a infinito.

Controllo sperimentale, ad es. per il secondo limite:
f(x)=(1+1/x)^(x^(1/2))   f(1)=2   f(10)=1.351746219298   f(1E2)=1.104622125411   f(1E3)=1.032111780618   f(1E4)=1.010049662093   f(1E6)=1.001000499666   f(1E8)=1.000100004999   f(1E14)=1.000000099920
[ Nota: abbiamo messo (1+1/x)^(x^(1/2)), non (1+1/x)^(x^1/2), altrimenti il computer avrebbe eseguito (1+1/x)^x1/2 = (1+1/x)^x/2 = √( (1+1/x)^x ), che tende a √e ]

Controllo delle uscite con R:

Vedi i calcoli svolti qui.
Grafici:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=4; HF=3; Plane(0,50, 0,3)
g = function(x) (1+1/x)^x; graph2(g, 0,50, "brown")
g = function(x) (1+1/x)^sqrt(x); graph2(g, 0,50, "seagreen")
Plane(0,5, 0,100)
g = function(x) (1+1/x)^(x^2); graph2(g, 0,5, "brown")

Lo studio sperimentale con lo script online "funct.(tab/limit)" accessibile da qui , avendo definito "F(x)" nel modo seguente;

pow(1+1/x,x)    pow(1+1/x,sqrt(x))    pow(1+1/x,x*x)