IN MODIFICA

Studia il limite per  x ∞ di  (1 + 1/x)x,  di  (1 + 1/x)√x  e di  (1 + 1/x)x2.

Se sappiamo già che lim x (1 + 1/x)x = e (vedi), il primo limite è già studiato.
Altrimenti, essendo di fronte a un termine del tipo f(x)g(x) con f(x)1 e g(x)∞, ossia a un limite del tipo 1 che a priori non posso stabilire come si comporti, posso usare il trucco di trasformare il termine T nella forma exp(log(T)) in modo da poter eliminare l'elevamento alla potenza usando le proprietà del logaritmo:
(1 + 1/x)x = exp(log((1 + 1/x)x)) = exp(x·log(1 + 1/x)) = exp( log(1 + 1/x) / (1/x) )
So che, per u 0, log(1 + u) = u + o(u), ossia che log(1 + u)/u 1; quindi, per x ∞, exp( log(1 + 1/x) / (1/x) ) exp(1) = e.

Per gli altri limiti posso usare lo stesso trucco:
(1 + 1/x)√x = exp(log((1 + 1/x)√x)) = exp(√x·log(1 + 1/x)) = exp( log(1 + 1/x) / (1/√x) ) exp(0) = 1 in quanto log(1 + u) = u + o(u) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a √u = u1/2.

(1 + 1/x)x2 = exp(log((1 + 1/x)x2)) = exp(x2·log(1 + 1/x)) = exp( log(1 + 1/x) / (1/x2) ) in quanto log(1 + u) = u + o(u) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a u2 per cui mi riconduco a un termine del tipo exp(t) con t ∞, che tende a infinito.

Controllo sperimentale, ad es. per il secondo limite:
f(x)=(1+1/x)^(x^(1/2))   f(1)=2   f(10)=1.351746219298   f(1E2)=1.104622125411   f(1E3)=1.032111780618   f(1E4)=1.010049662093   f(1E6)=1.001000499666   f(1E8)=1.000100004999   f(1E14)=1.000000099920
[ Nota: abbiamo messo (1+1/x)^(x^(1/2)), non (1+1/x)^(x^1/2), altrimenti il computer avrebbe eseguito (1+1/x)x1/2 = (1+1/x)x/2 = √( (1+1/x)x ), che tende a √e ]

Controllo delle uscite con R:

Vedi i calcoli svolti qui.
Grafici:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=4; HF=3; Plane(0,50, 0,3)
g = function(x) (1+1/x)^x; graph2(g, 0,50, "brown")
g = function(x) (1+1/x)^sqrt(x); graph2(g, 0,50, "seagreen")
Plane(0,5, 0,100)
g = function(x) (1+1/x)^(x^2); graph2(g, 0,5, "brown")