Studiare la funzione f definita nel modo seguente, tracciandone il grafico, determinandone gli eventuali punti di massimo e di minimo, gli intervalli di crescenza e decrescenza e studiandone la concavità.

f (x) = x e1 − x2

• Innanzi tutto osserviamo che f : x → e ^{1 − x2}x  è definita e continua ovunque, ed è dispari, ossia f(−x) = −f(x), e quindi ha grafico simmetrico rispetto a (0,0).  f(0) = 0,  f(x) > 0 per ogni x > 0  e  lim _{x → ∞} f(x) = lim _{x → ∞} x / e ^x2−1 = 0  in quanto e^x2 per x → ∞ è un infinito di ordine superiore rispetto a x.  Quindi f in (0,∞) − essendo ivi sempre positiva e continua, e tendendo a 0 ai sui estremi − ha almeno un massimo.
• Studiamo D(f) per precisare queste conclusioni.  D(f)(x) = e ^{1 − x2} (1−2x²) ha il segno di 1−2x², ossia di −2x²+1, che (si pensi ad una parabola con la concavità rivolta verso il basso) è positivo per x compreso tra le soluzioni di −2x²+1 = 0, negativo al di fuori di tale intervallo. Dunque, a destra dell'origine vi è un massimo per x soluzione positiva di −2x²+1 = 0, ossia per x = 1/√2 = 0.70710678…
• f "(x) = e ^{1 − x2} 2x(2x²−3)  si annulla per x = 0 e, restringendosi alle soluzioni positive, per x = √(3/2) = 1.22474487…: questi, e −√(3/2), sono dunque le ascisse dei punti di flesso del grafico della nostra funzione. 
• Concludendo, la nostra funzione cresce tra −1/√2 e 1/√2 e decresce per valori minori o uguali a −1/√2 e valori maggiori o uguali a 1/√2;  ha la concavità verso il basso per valori minori o uguali a −√(3/2) e per valori compresi tra 0 e √(3/2), verso l'alto per valori compresi tra −√(3/2) e 0 e per valori maggiori o eguali a √(3/2).

Queste conclusioni sono confermate dallo studio grafico della funzioni, che, se posso, conviene fare man mano intrecciandosi a considerazioni teoriche come le precedenti. Ad esempio con R posso traacciare il grafico di f, di D(f) e di D(D(f)), e verificare che le intersezioni dei loro grafici con l'asse x corrispondono ai valori dei punti di massimo e minimo e di flesso trovati sopra; se voglio posso fare anche un controllo numerico.

# Controllo con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f = function(x) x*exp(1-x*x) df = function(x) eval(deriv(f,"x")) d2f = function(x) eval(deriv2(f,"x")) BF=3; HF=3; graph2F(d2f, -3,3, "seagreen") graph2(df,-3,3, "red"); graph2(f,-3,3, "blue") x1=solution(df,0, 0,1); x1; POINT(x1,f(x1),"black") # 0.7071068 x2=solution(d2f,0, 1,2); x2; POINT(x2,f(x2),"red") # 1.224745 x1^2; x2^2 # 0.5 1.5