(a) Studiare la funzione f definita nel modo seguente, tracciandone il grafico:  f(x) = log(cos x + 2).

(b) Studiare la funzione g definita nel modo seguente, tracciandone il grafico:  g(x) = log(cos x + 1).

• Innanzi tutto osservo che x → log(cos(x) + 2), composizione di una funzione di periodo 2π con una funzione crescente, è periodica, con periodo 2π. Inoltre ha massimo dove ha massimo la funzione cos, ossia in 0 e nei valori multpili di 2π, ha minimo dove ha minimo la funzione cos, ossia in π e nei valori ottenuti variando π di un multpilo di 2π. Inoltre f, come composizione di funzioni continue e derivabili, è ovunque continua e derivabile. La sua derivata in x è  − sin(x) / (cos(x)+2), che in accordo con quanto dedotto prima, si annulla dove si annulla sin, ossia in 0 e nei valori ottenuti variando di multpili di π.  La derivata seconda in x è  − (2cos(x)+1) / (cos(x)+2)², che si annulla quando cos(x) = −1/2, ossia per x = 2π/3 = 2.0943951…, per x = −2π/3, e quando x ha uno di questi valori viene variato di un multpilo di 2π. Questi sono i valori in cui cambia concavità la nostra funzione (che ha la concavità verso il basso in 0).
    Sotto, a sinistra, lo studio grafico col computer della funzione, che conferma queste deduzioni.

• Anche  x → log(cos(x) + 1)  ha perido 2π ed è continua e derivabile, ma il suo dominio è R privato degli x in cui cos(x) = −1, ossia di π e dei valori ottenuti variando π di un multpilo di 2π.  Ha massimo dove il coseno è massimo, ossia in 0 e nei valori ottenuti variando 0 di un multpilo di 2π;  inferiormente non è limitata in quanto per x che tende a π, o ad un valore ottenuto da esso variando di un multiplo di 2π, tende a −∞.  La sua derivata in x è  − sin(x) / (cos(x)+1), che si annulla dove si annulla sin e quando cos non vale −1; ossia si annulla in 0 e nei multipili di 2π, mentre per x che tende a π (e ai valori ottenuti variando di multipili di 2π) tende a −∞  (cos(x)+1 tende a 0 più velocemente di sin(x)).  La derivata seconda in x è  − 1 / (cos(x)+1), che, dove è definita, è sempre negativa. Quindi la funzione ha la concavità verso il basso in tutti gli intervalli in cui è definita.

(vedi  )

    Queste conclusioni sono confermate dallo studio grafico della funzioni. Ad esempio con R (vedi) posso tracciare:

f,   f',   f"

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) log(cos(x)+2)
BF=3.5; HF=2.5
TICKx=pi/2; TICKy=0.2
Plane2(-2*pi,3*pi, -0.7, 1.2)
f = function(x) log(cos(x)+2)
graph2(f,-2*pi,3*pi,"1")
underX( c("-2pi","-pi","0","pi","2pi","3pi"),c(-2*pi,-pi,0,pi,2*pi,3*pi) )
underY( c("0","-0.6","1"),c(0,-0.6,1) )
df = function(x) eval(deriv(f,"x")); graph2(df,-2*pi,3*pi,"blue")
d2f = function(x) eval(deriv2(f,"x")); graph2(d2f,-2*pi,3*pi,"red")
x=solution(d2f,0, pi/2,pi); x
# 2.094395
x/pi; fraction(x/pi)
# 0.6666667  2/3
#
f = function(x) log(cos(x)+1)
TICKx=pi/2; TICKy=1
Plane2(-2*pi,3*pi, -6, 4)
graph2(f,-2*pi,3*pi,"1")
underX( c("-2pi","-pi","0","pi","2pi","3pi"),c(-2*pi,-pi,0,pi,2*pi,3*pi) )
underY( c("0","-4","4"),c(0,-4,4) )
df = function(x) eval(deriv(f,"x")); graph2(df,-2*pi,3*pi,"blue")
d2f = function(x) eval(deriv2(f,"x")); graph2(d2f,-2*pi,3*pi,"red")