Determinare h e k in modo che la funzione f definita nel modo seguente sia derivabile in R.

f(x) = {  1/|x|   se |x| > 1  h + k x2   altrimenti

La mia funzione, f, deve avere grafico simmetrico rispetto all'asse y, in quanto f(−x) = f(x).  I parametri, h e k, compaiono solo nella definizione per input in valore assoluto minori o uguali ad 1; in (-∞,-1) e in (1,∞) posso quindi studiare la mia funzione.  Il grafico per ascisse maggiori di 1 è quello di un'iperbole, che arriva in 1 con pendenza −1 (posso arrivarci con un calcolo, o pensando che y=1/x è simmetrica rispetto alla bisettrice del 1° quadrante, e quindi −1 è l'unico valore che può avere la pendenza dove essa incontra la retta y=x). Simmetrico rispetto all'asse y è il grafico per ascisse minori di −1.
Capisco che, per raccordarsi con questi rami di curve, in [-1,1] la funzione deve avere per grafico una parabola rivolta verso il basso, ossia con k negativo. Facciamo i conti, con questa idea in testa.
Impongo che f sia continua, ovvero che lim _{x → 1+} f(x) = lim _{x → 1−} f(x) (la simmetria rispetto all'asse y fa sì che mi basti verificare questa ipotesi: automaticamente avrò la continuità anche in −1).  lim _{x → 1+} f(x) = lim _{x → 1+} 1/x = 1;  lim _{x → 1-} f(x) = lim _{x → 1-} h+kx² = h+k.  Dunque h+k = 1 è quanto devo imporre affinché la funzione sia continua.
Dato che i rami che compongono la funzione sono di funzioni che hanno derivata in 1, affinchè la derivata esista in 1 occorre (e basta, assieme alla condizone precedente) che D_x=1 (1/x) = D_x=1 (h+kx²), ossia che −1 = 2k.
Concludendo la nostra funzione è derivabile in 1 (e in −1) quando  h+k = 1 & 2k = −1, ossia quando  k = −1/2 & h = 3/2.

Queste conclusioni sono confermate dallo studio grafico della funzione.  Ecco, ad es., ciò che otteniamo con i comandi seguenti di R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") A = function(x) 1/sqrt(x^2); B = function(x) H+K*x^2 # Non abs(x) ma sqrt(x^2) altrimenti con è calcolata A' BF=3.5; HF=3; Plane(-5,5, -1,3) graph1(A, -6,6, "black") graph(A,-6,-1, "black"); graph(A,1,6, "black") dA = function(x) eval(deriv(A,"x")); dA(-1); dA(1) # 1 -1 Perché B si raccordi in 1 con = derivata # che ha A occorre che 2*K*1 = -1 ovvero: K = -1/2 # H-1/2= 1 quindi: H = 3/2 graph1(B,-6,6, "red"); graph(B, -1,1, "red") POINT(c(-1,1),c(1,1),"blue")