Sia:   f(x) = sin(2x) / x se 0 < x,   f(x) = a x + b se x ≤ 0
      (a)  Determinare per quali valori di a e b la funzione f derivabile in 0 e, per tali valori:
      (b)  calcolare   f ' (0)   e     (c)  stabilire se esiste   f " (0).

(a) Affinché sia derivabile occorre che f sia continua in 0.
  lim x → 0 sin(2x) / x = lim x → 0 sin(2x) / 2x·2 = 1·2 = 2 (vedi)
  lim x → 0 ax + b = b
  lim x → 0+ f(x) = 2 = b = lim x → 0− f(x)
Dunque f è continua in 0 quando b = 2.
Dobbiamo, poi, imporre che le derivate da destra e da sinistra (se esistono) coincidano, o che (se esistono) coincidano i limiti a 0 da destra e da sinistra delle derivate delle due espressioni che assume f a destra e sinistra dell'origine ( derivata).
Seguiamo la seconda strada:
−  Dx (ax+2) = a, e quindi lim x → 0 Dx (ax+2) = a
−  lim x → 0 Dx (sin(2x)/x) = 0 in quanto il grafico del prolungamento di y = sin(x)/x per x=0 ha pendenza 0 ( es. 7a.12): ha lo stesso grafico, contratto orizzontalmente. Se non sfruttiamo questo fatto possiamo fare:
    Dx (sin(2x)/x) = (2·cos(2x)·x−sin(2x)) / x2 il cui comportamento per x → 0 lo posso studiare, ad esempio, con la regola de L'Hopital ( propr. della funz. cont. e derivabili):
    −4·sin(2x)x / (2x) = −2·sin(2x) → 0.
Concludendo, deve essere  a = 0.


x → sin(2x) / x               x → 2    

(b) Abbiamo già trovato, sopra, che f '(0) = 0.

(c) Sia g il prolungamento per continuità di x → sin(2x) / x in IR. In 0 g ha la concavità verso il basso, quindi ivi la sua derivata seconda è negativa, mentre x → 2 ha derivata seconda nulla. Quindi non esiste f "(0).

g,   g',   g"
 Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=5; HF=3
f = function(x) sin(2*x)/x
Plane(-8,8, -3,3); graph2(f, -9,9, "black")
df = function(x) eval(deriv(f,"x"))
d2f = function(x) eval(deriv2(f,"x"))
graph2(df, -9,9, "blue"); graph2(d2f, -9,9, "red")
d2f(10^-(1:4))
# -2.634743 -2.666347 -2.666663 -2.666667
fraction(d2f(10^-4))
# -8/3

Volendo si può calcolare g"(x) = −2(2·sin(2x)x2+2cos(2x)x−sin(2x)) / x3 che per x → 0 tende a −8/3.

[ infatti:
• 2·sin(2x)x2/x3 = 2·sin(2x)/x → 4;
• (2cos(2x)x−sin(2x))/x3 → −8/3, per l'Hopital, in quanto il rapporto tra le derivate, −4·sin(2x)/3x, tende a tale valore;
• −2(4−8/3) = −8/3 ]