Sia:
f(x) = sin(2x) / x se 0 < x,
f(x) = a x + b se x ≤ 0
(a) Determinare per quali valori di a e b la funzione f è derivabile in 0 e, per tali valori:
(b) calcolare f ' (0) e
(c) stabilire se esiste f " (0).
(a) Affinché sia derivabile occorre che f sia continua in 0.
lim x → 0 sin(2x) / x
= lim x → 0 sin(2x) / 2x·2
= 1·2 = 2 (vedi)
lim x → 0 ax + b = b
lim x → 0+ f(x) = 2 = b = lim x → 0− f(x)
Dunque f è continua in 0 quando b = 2.
Dobbiamo, poi, imporre che le derivate da destra e da sinistra (se esistono) coincidano,
o che (se esistono) coincidano i limiti a 0 da destra e da sinistra delle derivate delle
due espressioni che assume f a destra e sinistra dell'origine
( derivata).
Seguiamo la seconda strada:
− Dx (ax+2) = a, e quindi lim x → 0 Dx (ax+2) = a
− lim x → 0 Dx (sin(2x)/x) = 0 in quanto il grafico del prolungamento di y = sin(x)/x per x=0 ha pendenza 0
( es. 7a.12):
ha lo stesso grafico, contratto orizzontalmente. Se non sfruttiamo questo fatto
possiamo fare:
Dx (sin(2x)/x) =
(2·cos(2x)·x−sin(2x)) / x2
il cui comportamento per x → 0 lo posso studiare, ad esempio, con la regola de L'Hopital
( propr. della funz. cont. e derivabili):
−4·sin(2x)x / (2x)
= −2·sin(2x) → 0.
Concludendo, deve essere a = 0.
x → sin(2x) / x
x → 2
(b) Abbiamo già trovato, sopra, che f '(0) = 0.
(c) Sia g il prolungamento per continuità di
x → sin(2x) / x in IR. In 0 g ha la concavità verso il basso, quindi ivi la sua derivata seconda è negativa, mentre
g, g', g" |
Con R (vedi): source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") BF=5; HF=3 f = function(x) sin(2*x)/x Plane(-8,8, -3,3); graph2(f, -9,9, "black") df = function(x) eval(deriv(f,"x")) d2f = function(x) eval(deriv2(f,"x")) graph2(df, -9,9, "blue"); graph2(d2f, -9,9, "red") d2f(10^-(1:4)) # -2.634743 -2.666347 -2.666663 -2.666667 fraction(d2f(10^-4)) # -8/3 |
Volendo si può calcolare g"(x) =
[ infatti:
•
2·sin(2x)x2/x3 = 2·sin(2x)/x → 4;
•
(2cos(2x)x−sin(2x))/x3 → −8/3, per l'Hopital, in quanto il rapporto tra le derivate,
•
−2(4−8/3) = −8/3 ]