Studia, al variare di a e di b in R:	lim x → 0	ex3 − ax + b
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		x2 log(1+x)

A lato sono rappresentati graficamente, al variare dell'input attorno a 0, due sottotermini della funzione x → f(x) di cui si deve determinare il limite. Dato che, per x → 0, ax → 0,  se b < −1  f(x) → −1/0+ = −∞ se x → 0+,  f(x) → −1/0− = ∞ se x → 0−. Se se b > −1, invece,  f(x) → 1/0+ = ∞ se x → 0+,  f(x) → 1/0− = −∞ se x → 0−. Se b = −1 abbiamo un limite del tipo 0/0.  et per t→0 tende a comportarsi come t+1, ossia et−1 tende a comportarsi come t, quindi ex3−1 per x→0 è un infinitesimo di ordine 3.  log(1+x) per x→0 si comporta come x (). Quindi se a ≠ 0 il limite si comporta come −ax/x3, ossia come −a/x2:  vale ∞ se a<0, vale −∞ se a>0. Se a = 0 abbiamo, invece, il rapporto tra un termine che tende a comportarsi come x3 ed uno che tende a comportarsi anch'esso come x3, che, per x→0, tende ad 1.

x → ex3   x → x2 log(1+x)

    Sotto è tracciato (con R - vedi) il grafico della nostra funzione per a > 0 e b = −1, che fa capire che cosa accade in tale caso. In modo simile si possono tracciare i grafici per gli altri casi.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") g = function(x) exp(x^3)-A*x+B h= function(x) x^2*log(1+x) f = function(x) g(x)/h(x) A=1; B=-1 Plane(-1,1.5, -30,30) graph(f,-2,2, "brown") abovex("y = f(x), A=1, B=-1")