Sia h(x) = elog(tan(x/2)2)   [tan(x/2)2 indica il quadrato di tan(x/2), non la tangente di (x/2)2 ].
Determinarne dominio ed eventuali periodo, zeri, punti di massimo e di minimo, punti di flesso.

Per il significato della scrittura tan(x/2)2 vedi.

h(x) = tan(x/2)2 quando tan(x/2) ≠ 0 (il logaritmo è definito solo per input positivi). Quindi il dominio di h è R esculsi i valori x in cui non è definito tan(x/2) o in cui esso vale 0. Inoltre h, essendo il quadrato di x → tan(x/2), ha sicuramente il periodo π·2 di quest'ultima; tenendo conto che tan(x) = −(tan(−x)), ossia della simmetria del grafico rispetto a 0, abbiamo, passando ai quadrati, la simmetria rispetto all'asse y e a tutte le rette verticali aventi per ascissa i punti in cui tan(x/2) vale 0. La funzione, essendo il frutto finale di un'applicazione di un'esponenziale, non vale mai 0. Questo completa tutte le risposte ai quesiti formulati nell'esercizio, tranne che all'ultimo. Ecco una conferma con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
h = function(x) exp(log(tan(x/2)^2))
BF=3.5; HF=2.5
TICKx=pi/2; TICKy=1; Plane2(-3*pi,3*pi, -1,10)
underX(c("0","-3pi","-2pi","-pi","pi","2pi","3pi"),
       pi*c(0,-3,-2,-1,1,2,3))
underY(c("0","5","10"),5*c(0,1,2))
graph(h, (-3*pi,3*pi, "brown")



TICKx=pi/4; TICKy=1; Plane2(-pi,pi, -1,10)
graph(h, -4,4, "brown")
underY(c("0","5","10"),5*c(0,1,2))
underX(c("0","-pi","-pi/2", "pi/2","pi"),pi*c(0,-1,-1/2,1/2,1))
abline(v=c(-pi,pi), col="red")

Volendo (cosa non richiesta) possiamo osservare che la funzione va a 0 come x → x2, in quanto si comporta come il quadrato della funzione tangente, che va a 0 come x → x. Ecco i valori, ottenibili con il computer, che confermano questo fatto: 

h( c(1e-1,1e-2,1e-3,1e-4) )
# 2.504173e-03  2.500042e-05  2.500000e-07  2.500000e-09

Col computer possiamo verificare facilmente che la funzione ha derivata sempre non nulla (tende a 0 per l'input che tende a 0 e a 2nπ con n numero intero) e derivata seconda sempre positiva. Quindi (vedi) il grafico ha sempre la concavità rivolta verso l'alto.

TICKx=pi/4; TICKy=2; Plane2(-pi,pi, -10,10)
graph(h, -4,4, "brown")
dh= function(x) eval(deriv(h,"x"))
d2h= function(x) eval(deriv2(h,"x"))
graph2(dh,-4,4, "seagreen"); graph2(d2h,-4,4, "blue")
underX(c("0","-pi","-pi/2", "pi/2","pi"),pi*c(0,-1,-1/2,1/2,1))
underY(c("0","5","10","-5","-10"),5*c(0,1,2,-1,-2))
text(-pi/2+pi/8,7,"h'",font=2,col="seagreen")
text(-pi/4+pi/8,7,"h''",font=2,col="blue")

I calcoli sono comunque facili:  h'(x) = tan(x/2)·(tan(x/2)2+1) (nulla solo quando tan(x/2) = 0), h"(x) = 3/2·tan(x/2)4+2·tan(x/2)2+1/2 (positivo).