Studiare la funzione f così definita:
f(x) = e^{x³/ (x² − 1)}

• Per studiare dove f : x → e^{x³/ (x² − 1)} cresce o decresce, essendo x → e^x crescente, posso limitarmi a studiare dove cresce o decresce g : x → x³/(x² − 1). Questa è una funzione dispari, per cui ha grafico simmetrico rispetto all'origine. Basta, quindi, che la studi per input maggiori o eguali a 0.
In questo sottodominio, g(x) si azzera per x = 0 e non è definito per x = 1; è positivo dove lo è x²−1, ossia dove x²>1, ossia per x>1. In accordo con ciò, abbiamo che per x → 1- g(x) → −∞ e che per x → 1+ g(x) → ∞.
Inoltre per x → ∞ g(x) → ∞ in quanto rapporto tra due funzioni che tendono all'infinito, la prima di ordine superiore alla seconda.
Dato questo comportamento di g agli estremi di (1,∞), dove è continua, abbiamo che essa ha almeno un minimo in tale intervallo. Inoltre, in 0, data la simmetria rispetto a O, abbiamo un punto di flesso. Tutte queste conclusioni sono confermate dal seguente grafico di g, in blu, realizzato col computer.

Il grafico di g e quello, in verde, della sua derivata, ci fanno capire che g (e quindi f) ha un minimo per un input positivo, un simmetrico (rispetto all'origine) massimo per un input positivo. Sotto i comandi con cui si sono ottenuti i grafici precedenti utilizzando il programma R, col quale sono stati ottenuti anche i valori dei punti di massimo e di minimo relativi di g, riportati sotto; le ordinate di essi, prese come esponenti di e, danno anche le ordinate dei punti di minimo e di massimo relativi di f .

# Con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f = function(x) exp(x^3/(x^2-1)); g = function(x) x^3/(x^2-1) dg = function(x) eval(deriv(g,"x")) BF=4; HF=2.5; Plane(-3,3, -4,4) graph2(g, -3,3, "blue") graph2(dg, -3,3, "seagreen") x1 = solution(dg,0, -2,-1.5); c(x1, g(x1), f(x1) ) # -1.7320508 -2.5980762 0.0744166 x2 = solution(dg,0, 1.5,2.5); c(x2, g(x2), f(x2) ) # 1.732051 2.598076 13.437862 POINT(c(x1 ,x2),c(0,0),"red")

Possiamoverificare le cose tracciando - tenendo conto dei valori che di f(x1) e f(x2) - il grafico di f , ritrovando i punti di massimo e di minimo:
BF=2.5; HF=3.6; Plane(-3,3, -1/2,15.5)
graph2(f, -3,3, "brown")
Point(c(x1 ,x2),c(f(x1),f(x2)),"seagreen")

Possiamo facilmente controllare "a mano" queste valutazioni ottenute col computer:

D(f)(x) = x²(x²−3) e^{x³/
(x²−1)} / (x²−1)² ha il segno (per x diverso da 1 e da −1) di x²(x²−3), ossia è nulla in 0, √3 e −√3, positiva per x in (−∞,−√3) e in (√3, ∞), negativa altrove.

Volendo, posso controllare la derivata con R:
deriv(f,"x")
# exp(x^3/(x^2-1))*(3*x^2/(x^2-1)-x^3*(2*x)/(x^2-1)^2)
# che posso semplificare in
# exp(x^3/(x^2-1))*(x^2*(x^2-3))/(x^2-1)^2
# o posso confrontare con questa ad esempio tracciando i due grafici
o con WolframAlpha; da:
d(exp(x^3/(x^2-1)))/dx
ottengo (exp(x^3/(x^2-1))*x^2*(x^2-3))/(x^2-1)^2

• Non abbiamo metodi algebrici semplici per determinare i punti di flesso trovando dove si annulla la derivata seconda (dovremmo trovare dove si annulla un polinomio di 7° grado):
essa è il prodotto di x⁷-6x⁵+2x⁴+9x³+4x²-6 per x·e^{x³/
(x²−1)} / (x²−1)⁴.
Possiamoverificare graficamente (ad es. col programma citato sopra) che la derivata seconda di f opportunamente ristretta si annulla, oltre che per x = 0, anche, arrotondando, per x = −2.33, x = −1.21, x = 0.79:

BF=2.5; HF=2.2 Plane(-3,1.2, -0.2,0.2); graph2(d2f, -3,3, "seagreen") Plane(-3,3, -10,10); graph2(d2f, -3,3, "seagreen") # potrei zoommare ulteriormente

Ovvero, con R, potremmo trovare numericamente dove si annulla f " determinando con più precisione i valori delle ascisse corrispondenti ai punti di flesso del grafico:

solution(d2f,0, -3,-2)      # -2.330137
solution(d2f,0, -1.3,-1.1)  # -1.211329
solution(d2f,0, -0.1,0.1)   # 0
solution(d2f,0, 0.7,0.9)    # 0.7865752
# con more(...) avremmo -2.3301372280143 -1.2113294203338 0.78657521957196

Potremmo anche (oltre a usare WolframAlpha) trovare le radici del polinomio x⁷-6x⁵+2x⁴+9x³+4x²-6:

q = c(-6,0,4,9,2,-6,0,1); solpol(q)
#  0.78657521957196  -1.2113294203338  -2.3301372280143

Possiamoverificare le cose tracciando - tenendo conto dei valori che di f(x1) e f(x2) - il grafico di f , ritrovando i punti di massimo e di minimo: BF=2.5; HF=3.6; Plane(-3,3, -1/2,15.5) graph2(f, -3,3, "brown") Point(c(x1 ,x2),c(f(x1),f(x2)),"seagreen")
Possiamo facilmente controllare "a mano" queste valutazioni ottenute col computer: