Si calcoli lim x → ∞ ( 1 + 1/x) − x2
Mi conviene trasformare (1+1/x)-x2 in 1 / (1+1/x)x2,
che interpreto come
Sono di fronte a un termine del tipo f(x)g(x) con f(x)→1
e g(x)→∞, ossia a un limite del tipo 1∞ che a priori non posso stabilire come si comporti
(1 + 1/x)x2 = exp(log((1 + 1/x)x2)) = exp(x2·log(1 + 1/x)) =
Quindi lim x → ∞ ( 1 + 1/x) − x2 =
lim x → ∞ 1 / ( 1 + 1/x) x2 =
1/∞ = 0.
Controllo sperimentale, con R (vedi).
I grafici di g: x → (1+1/x)-x2 e di h: x → ( 1 + 1/x) x2, ristretti
a x > 0.
Un procedimento alternativo (conoscendo il comportamento di (1+1/x)x) era il seguente:
(1+1/x)-x2 =
# Con R potremmo studiare meglio anche il comportamento del limite con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") A=1;B=8; L=0;for(n in A:B) {x=2^n; cat(n,'\t'); cat(g(x)-L,'\t'); L=g(x); more(L) } # 1 0.1975309 [1] 0.197530864197531 # 2 -0.1693834 [1] 0.0281474976710656 # 3 -0.0276151 [1] 0.000532400633255452 # 4 -0.0005322188 [1] 1.81882823341931e-07 # 5 -1.818828e-07 [1] 2.06682337508209e-14 # 6 -2.066823e-14 [1] 2.63065944030718e-28 # 7 -2.630659e-28 [1] 4.22989091808228e-56 # 8 -4.229891e-56 [1] 1.08942174012352e-111 # La convergenza a 0 è velocissima # # Osserviamo che g è continua anche a sinsitra di -1 e che è definita anche # per una quantità infinita di punti tra -1 e 0 (è sbagliato dire che g non # è definita per alcun input compreso tra -1 e 0). Sotto il grafico anche a # sinistra di -1 della funzione continua. A destra è tracciato anche il gra- # fico dove la funzione non è continua (tracciato con i comandi riportati # sotto [vedi]).POT=function(a,m,n) ifelse(a>=0,a^(m/n),ifelse(m>0 & n%%2==0,1/0,ifelse(m%%2!=0,-((-a)^m)^(1/n),((-a)^m)^(1/n)))) g1 = function(m,n) POT( 1+m/n,-m*m, n*n) Plane(-2,1, 0,15) graph2(g,-3,3, "brown") for(n in 1:200) for(m in 1:n) Dot(-m/n,g1(-m,n), "seagreen")