Si calcoli   lim x → ∞ ( 1 + 1/x) − x2

Mi conviene trasformare (1+1/x)-x2 in  1 / (1+1/x)x2, che interpreto come  1 / (1+1/x)(x2)  ().

Sono di fronte a un termine del tipo f(x)g(x) con f(x)1 e g(x)∞, ossia a un limite del tipo 1 che a priori non posso stabilire come si comporti ().  Posso usare il trucco di trasformare il termine T nella forma exp(log(T)) in modo da poter eliminare l'elevamento alla potenza usando le proprietà del logaritmo:
(1 + 1/x)x2 = exp(log((1 + 1/x)x2)) = exp(x2·log(1 + 1/x)) = exp( log(1 + 1/x) / (1/x2) ) in quanto log(1 + u) = u + o(u) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a u2 per cui mi riconduco a un termine del tipo exp(t) con t ∞, che tende a infinito.
Quindi lim x → ∞ ( 1 + 1/x) − x2 = lim x → ∞ 1 / ( 1 + 1/x) x2 = 1/∞ = 0.
Controllo sperimentale, con R (vedi).
I grafici di g: x → (1+1/x)-x2 e di h: x → ( 1 + 1/x) x2, ristretti a x > 0.

Un procedimento alternativo (conoscendo il comportamento di (1+1/x)x) era il seguente:
(1+1/x)-x2 = 1 / (1+1/x)(x2) = 1 / (1+1/x)(x·x) = 1 / ((1+1/x)x)x1 / e = 1 / ∞ = 0


# Con R potremmo studiare meglio anche il comportamento del limite con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
A=1;B=8; L=0;for(n in A:B) {x=2^n; cat(n,'\t'); cat(g(x)-L,'\t'); L=g(x); more(L) }
# 1       0.1975309       [1] 0.197530864197531
# 2       -0.1693834      [1] 0.0281474976710656
# 3       -0.0276151      [1] 0.000532400633255452
# 4       -0.0005322188   [1] 1.81882823341931e-07
# 5       -1.818828e-07   [1] 2.06682337508209e-14
# 6       -2.066823e-14   [1] 2.63065944030718e-28
# 7       -2.630659e-28   [1] 4.22989091808228e-56
# 8       -4.229891e-56   [1] 1.08942174012352e-111
# La convergenza a 0  velocissima
#
# Osserviamo che g  continua anche a sinsitra di -1 e che  definita anche
# per una quantit infinita di punti tra -1 e 0 ( sbagliato dire che g non
#  definita per alcun input compreso tra -1 e 0). Sotto il grafico anche a
# sinistra di -1 della funzione continua. A destra  tracciato anche il gra-
# fico dove la funzione non  continua (tracciato con i comandi riportati
# sotto [vedi]).
POT=function(a,m,n) ifelse(a>=0,a^(m/n),ifelse(m>0 & n%%2==0,1/0,ifelse(m%%2!=0,-((-a)^m)^(1/n),((-a)^m)^(1/n)))) g1 = function(m,n) POT( 1+m/n,-m*m, n*n) Plane(-2,1, 0,15) graph2(g,-3,3, "brown") for(n in 1:200) for(m in 1:n) Dot(-m/n,g1(-m,n), "seagreen")