Sudia la funzione x → log _x 3.

f : x → log x 3 = log 3 / log x ( funzioni esponenziale e logaritmo), quindi il grafico di f è quello raffigurato a fianco: − dato che  log 3 > 0, per x → 0+  f(x) → 1/∞ = 0,  per x → 1+  f(x) → 1/0+ = ∞,  per x → 1-  f(x) → 1/0- = −∞; − inoltre, dato che f è la composizione della funzione logaritmo, che è crescente, con la funzione reciproco, moltiplicata per una costante positiva, essa ha lo stesso andamento di crescita/decrescita della funzione reciproco, spostata a destra di 1 (il valore in cui il logaritmo vale 0).     Volendo trovare la pendenza di f, facciamo: f '(x) = log(3)·Dx (1/log(x)) = log(3) · d(1/log(x)) / (d log(x)) · d log(x) / dx = log(3) · (−1/log(x)2) · (1/x) = −log(3) / (x·log(x)2)

# Controllo con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
g = function(x) log(3)/log(x)
Plane(0,3, -10,10); graph2(g, 0,4, "brown")
# Vediamo come va all'infinito per x -> 1, da sinistra e destra
x=1-10^-(3:7); g(x)
# -1098.063   -10985.574  -109860.680 -1098611.739 -10986122.343
x=1+10^-(3:7); g(x)
#  1099.162    10986.672   109861.778  1098612.838  10986123.430
# al dividere per 10 della distanza le uscite si moltiplicano per 10:
# va all'infinito come 1/(x-1) 
deriv(g,"x")
# -(log(3)*(1/x)/log(x)^2)