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(a) Studiare la funzione f definita nel modo seguente, tracciandone il grafico. |
| f(x) = (x3 + 1) / (x3 − 1) |
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(b) Risolvere (rispetto ad x) la disequazione: |
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(c) Studiare la concavità di f. |
| (a) f è definita per gli x tali che x3−1≠0,
ossia per input diversi da 1. Il suo grafico interseca l'asse y per y = f(0) = −1.
In questo caso è facile trovare anche le intersezioni con l'asse x: è solo per x = −1
che f si annulla. Inoltre, essendo il rapporto tra due valori sempre diversi, per nessun x
f(x) vale 1.
Quindi, essendo f continua, il suo grafico è costituito,
in ciascun intervallo in cui è definita,
ossia in (−∞, 1) e (1, ∞),
da archi che stanno sopra o sotto la retta y = 1.
Il fatto che f(x) → ∞ (= 2/0+) per x → 1+
e che f(x) → −∞ (= 2/0−) per x → 1−
ci consentono di stabilire quali sono i tratti del grafico di f che stanno sopra e quelli che
stanno sotto a y = 1. Possiamo, dunque, concludere che il grafico
ha l'andamento raffigurato a fianco. Per approfondirne lo studio possiamo
calcolare e studiare D(f).
Lo faremo in (c). |
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(b) La disequazione la devo risolvere usando quanto ho
già discusso affrontando (a): non è un problema nuovo.
Dal grafico, parziale, di f possiamo
concludere che la disequazione è verificata per tutti i valori del dominio minori
di 1 e per quelli maggiori del
valore x per cui f(x) = 2. Risolviamo, dunque,
(x3+1) / (x3−1) = 2:
x3+1 = 2(x3−1),
1 = x3−2,
3 = x3,
x = 3√3 = 1.4422495703…
Dunque le soluzioni del nostro problema sono le x tali che:
x ≥ 3√3 & x < 1.
(c) D(f)(x) =
(3x2(x3−1)−3x2(x3+1)) / (x3−1)2 =
−6x2 / (x3−1)2, che vale 0 per x=0 ed è negativa
per ogni altro x per cui è definita, ossia per x ≠ 0 e x ≠ 1.
Possiamo dunque concludere che f ha l'andamento raffigurato sotto (il grafico è stato tracciato
con R - vedi - usando le istruzioni successive; il grafico ci dà anche delle informazioni
sulla convessità della funzione, che esaminermo "teoricamente" tra poco).
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) (x^3+1)/(x^3-1)
BF=4; HF=3
Plane(-4,6, -5,5); graph2(f, -5,7, "blue")
g = function(x) 2; graph2(g, -5,7, "seagreen")
solution(f,2, 1.1,1.6)
x = solution(f,2, 1.1,1.6); more(x)
# 1.44224957030741
x^3
# 3
POINT(x,f(x), "red"); Diseq(f,g, -5,7, "red")
Dobbiamo verificare se, oltre al flesso orizzontale in 0, vi sono degli altri flessi.
Calcoliamo
D(D(f))(x) =
Dx (−6x2 / (x3−1)2) =
12x(2x3+1) / (x3−1)3
che si azzera per x = 0 (il punto di flesso già trovato) e per x =
−1 / 3√2 =
−0.79370052598… Il grafico sottostante (ottenuto con R, con i comandi sotto
riportati) ci conferma che la derivata seconda si azzera in 0 e in un valore vicino a −0.8.
Possiamo, dunque, concludere che il grafico della funzione ha la concavità verso
l'alto negli intervalli [−1 / 3√2, 0]
e (1, ∞), verso il basso negli intervalli
(−∞, −1 / 3√2]
e [0, 1).
Plane(-4,6, -5,5); graph2(f, -5,7, "blue")
graph2(g, -5,7, "seagreen")
df = function(x) eval(deriv(f,"x"))
graph2(df, -5,7, "brown")
d2f = function(x) eval(deriv2(f,"x"))
graph2(d2f, -5,7, "red")
POINT(0,0,"black"); POINT(1,0,"black")
x1=solution(d2f,0, -1,-0.7); x1
# -0.7937005
POINT(x1,0,"black")
x1^3
# -0.5
