Determinare h e k in modo che la funzione f definita nel modo seguente sia derivabile in tutto il suo dominio.

f(x) = {  x·cos(x+k)   se x > 0  x + h   se x ≤ 0

Occorre che la funzione sia continua e che, dato che esiste la derivata sia per x < 0 che per x > 0, tali derivate, tendendo x a 0 da sinistra e da destra, tendano a coincidere. La derivata per x < 0 è in ogni caso 1:  D_x (x+h) = 1, mentre il limite per x che tende a 0 da sinistra di f è h.  La derivata per x > 0 è cos(x+k)−x·sin(x+k) mentre per x che tende a 0 da destra f tende a 0.  Inoltre f(0) = h.
Dunque occorre, per la continuità, che f(0) = h = 0, ossia che h = 0.
Per la derivabilità occorre, inoltre, che lim _{x → 0+} cos(x+k)−x·sin(x+k) = 1, ossia che cos(k) = 1, ossia che k sia 0 o, più in generale, un multplo di 2π.

Sotto alcuni grafici che confermano questa conclusione (sono stati ottenuti con R; in fondo le istruzioni per ottenere queste e immagini simili).

h=1, k=1	h=0, k=1	h=0, k=0

# Controllo con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.8; HF=2.5
f1 = function(x) x*cos(x+k); f2 = function(x) x+h
f = function(x) ifelse(x > 0, f1(x), f2(x))
Plane(-2,3, -3,2)
h=1; k=1; graph(f, -3,4, "blue")
df1 = function(x) eval(deriv(f1,"x")); df2 = function(x) eval(deriv(f2,"x"))
df = function(x) ifelse(x > 0, df1(x), df2(x)); graph(df, -3,4, "red")
Plane(-2,3, -3,2)
h=0; k=1; graph(f, -3,4, "blue"); graph(df, -3,4, "red")
Plane(-2,3, -3,2)
h=0; k=0; graph(f, -3,4, "blue"); graph(df, -3,4, "red")