Un cartoncino ha la forma di un triangolo equilatero di lato a. Voglio costruire una scatola (senza coperchio) tagliando via tre quadrilateri dai tre angoli, come illustrato a fianco, e piegando la parte rimanente. Quanto deve essere lungo b affinché il volume della scatola sia massimo?      

Usiamo a come unità di misura delle lunghezze: a = 1.  Il triangolo originale, che è equilatero, ha area  sqrt(3)/2/2: la base è lunga 1 e l'altezza è  sqrt(3)/2.
Il triangolo interno, della stessa forma, ha lato  1-2*b, e quindi la sua area (ridimensionata di un fattore pari al quadrato del rapporto tra i lati) è  sqrt(3)/4*(1-2*b)^2.
L'altezza h del prisma ottenuto, pari alla distanza tra un lato del triangolo esterno e il parallelo lato del triangolo più piccolo, è l'altro cateto del triangolo rettangolo che ha b come cateto e 30° come ampiezza dell'angolo opposto, compreso tra b e k;  b = k*sqrt(3)/2 e, dunque, h = k/2 = b/sqrt(3).
Dunque il volume della scatola è : V = sqrt(3)/4*(1-2*b)^2*b/sqrt(3) = (1-2*b)^2*b/4 = b^3-b^2+b/4.
dV/db = 3*b^2-2*b+1/4 che ha come radici 1/6 e 1/2.  b deve dunque essere lungo  a/6.
  

# Controllo con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
V = function(b) (1-2*b)^2*b/4
B=3; HF=2.3
graphF( V, 0,1/2, "blue")
b = maxmin(V,0,1/2); b
# 0.1666667
fraction(b)
# 1/6
V(maxmin(V,0,1/2))
# 0.01851852
more(b)
# 0.0185185185185185
fraction( V(maxmin(V,0,1/2)) )
# 1/54
POINT(b,V(b), "magenta"); POINT(1/2,V(1/2), "red")

In alternativa all'impiego del calcolo differenziale, posso usare gli script online "max/min of fun." recuperabili qui, avendo preso pow(1-2*x,2)*x/4 come "F(x)". 

# max

0.166... = 1/6; 0.0185185... = 185/9990 -> 1/54   (eventualmente usando lo script "simpl.fract.")