Un cartoncino ha la forma di un triangolo equilatero di lato a. Voglio costruire una scatola (senza coperchio) tagliando via tre quadrilateri dai tre angoli, come illustrato a fianco, e piegando la parte rimanente. Quanto deve essere lungo b affinché il volume della scatola sia massimo? |
Usiamo a come unità di misura delle lunghezze: a = 1.
Il triangolo originale, che è equilatero, ha area Il triangolo interno, della stessa forma, ha lato 1-2*b, e quindi la sua area (ridimensionata di un fattore pari al quadrato del rapporto tra i lati) è L'altezza h del prisma ottenuto, pari alla distanza tra un lato del triangolo esterno e il parallelo lato del triangolo più piccolo, è l'altro cateto del triangolo rettangolo che ha b come cateto e 30° come ampiezza dell'angolo opposto, compreso tra b e k; b = Dunque il volume della scatola è : V = dV/db = 3*b^2-2*b+1/4 che ha come radici 1/6 e 1/2. b deve dunque essere lungo a/6. |
# Controllo con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") V = function(b) (1-2*b)^2*b/4 B=3; HF=2.3 graphF( V, 0,1/2, "blue") b = maxmin(V,0,1/2); b # 0.1666667 fraction(b) # 1/6 V(maxmin(V,0,1/2)) # 0.01851852 more(b) # 0.0185185185185185 fraction( V(maxmin(V,0,1/2)) ) # 1/54 POINT(b,V(b), "magenta"); POINT(1/2,V(1/2), "red")
In alternativa all'impiego del calcolo differenziale, posso usare gli script online "max/min of fun." recuperabili qui,
avendo preso
# max
0.166... = 1/6; 0.0185185... = 185/9990 -> 1/54
(eventualmente usando lo script "simpl.fract.")