Utilizzando grafici tracciati col computer, con un adeguato programma, e/o altri metodi numerici trova i punti critici (ossia in cui si annulla la derivata) di F: x → (x²−x)/(x²−4) arrotondati a 6 cifre.
Non basta tracciare i grafici per dare una risposta, ma occorre fare anche qualche ragionamento. Ad esempio se tracciassi il grafico tra −10 e 10 otterrei il grafico sotto a sinistra e potrei accontentarmi di trovare il massimo che la funzione assume tra −2 e 2 (che, come è facile verificare, sono i due unici numeri in cui F non è definita). Ma sbaglierei in quanto fra 5 e 10 il grafico comincia a risalire, come si vede meglio nel grafico successivo. Devo tener conto che per x → ∞ e per x → −∞ F(x) → 1. Con il terzo e il quarto grafico posso concludere che i due punti critici (uno di minimo relativo ed uno di massimo relativo) sono approssimativamente 7 e 0.5.
I grafici sono stati tracciati con questi script: uno, due, tre, quattro. Potrei procedere con ulteriori zoom e arrivare a situazioni come quella raffigurata a lato (cinque), relativa al calcolo del punto di minimo (relativo), che posso dedurre essere, arrotondando, 7.464102. |
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Ma conviene procedere numericamente. Posso usare gli script online "max/min of fun." recuperabili qui, avendo preso |
# max a=0.5358983684924327 b=0.5358984137485132 . . . a=-0.6333333333333333 b=1.0555555555555554 a=-0.6333333333333333 b=1.9 a=-1.9 b=1.9 # min a=7.464101255985495 b=7.4641014691654535 . . . a=2.1 b=10.055555555555557 a=2.1 b=14.033333333333335 a=2.1 b=20
Per avere sei cifre basta che mi fermi qui; min: 0.535898, max: 7.46410 (più cifre, per altro, non sarebbero affidabili).
Posso trovare le soluzioni esatte usando WolframAlpha:
Con min (x^2-x)/(x^2-4) for x > 2 ottengo x = 4 + 2*sqrt(3) = 7.4641016151377... Con max (x^2-x)/(x^2-4) for -2 < x < 2 ottengo x = 4 - 2*sqrt(3) = 0.53589838486224...