| Un oggetto piatto di peso P deve essere mosso lungo un piano orizzontale da una forza inclinata di un angolo α minore di 90°, come illustrato a lato. Sappiamo che al movimento si oppone un attrito proporzionale alla forza N normale alla superficie del piano con cui l'oggetto preme su di esso; sia μ = 0.29 il coefficiente di attrito. Qual è l'angolo per cui è necessaria la minima forza per vincere l'attrito? | |
N = P−F(α)·sin(α). La forza di attrito è
μN. Dobbiamo trovare quando
F(α)·cos(α) = μ·(P−F(α)·sin(α))
F(α)·(cos(α)+μ·sin(α)) = μ·P
F(α) = μ·P/(cos(α)+μ·sin(α))
F(α) è minima per il valore di α per cui cos(α)+μ·sin(α)
è massimo, dove 0 ≤ α ≤ π/2.
Posto cos(α)+μ·sin(α) = H(α), H(0) = 1, H(π/2) = μ.
Per trovare per quale α H(α) è minimio trovo dove si azzera la derivata di H.
H'(α) = −sin(α)+μ·cos(α) = 0 quando sin(α) = μ·cos(α),
ossia
tan(α) = 0.29
α = atan(0.29) = 0.2822574 = 16.17216 ° = 16.2 ° (arrotondando).
Questo è l'angolo (indipendente da P) per cui la forza necessaria per vincere l'attrito è minima.
In alternativa all'impiego del calcolo differenziale, posso utilizzare il software online www.WolframAlpha.com. Vedi qui.
Oppure posso usare gli script online "max/min of fun." recuperabili qui,
avendo preso
# max a=16.172114323076816 b=16.172253392278172 . . . a=0 b=26.666666666666664 a=0 b=40 a=0 b=60 a=0 b=90
Il massimo lo si ha per α = 16.172…° che arrotondo a 16.2°.