Calcola l'area della figura compresa tra y = e–x, y = 0, x = 0, x = k (k>0). Quindi calcola l'area della figura illimitata compresa tra y = e–x e y = 0 che sta nel semipiano x ≥ 0.

Per simmetria rispetto all'asse y dei grafici di y=exp(x) e y=exp(-x) ho:
∫_[0,k]e^–xdx = ∫_[-k,0]e^xdx = [e^x]_x=0–[e^x]_x=–k = 1–1/e^k

[ Ovvero:  Sia t=–x. dt/dx=–1; dx=-dt.
∫_[0,k]e^–xdx = ∫_[0,–k]–e^tdt = –∫_[0,–k]e^tdt =
–([e^t]_t=–k–[e^t]_t=0) = [e^t]_t=0–[e^t]_t=–k = 1–1/e^k ]

Questa è l'area della figura limitata a destra da x=k.
Al tendere di k a ∞ 1–1/e^k tende a 1: la figura illimitata che si ottiene ha area limitata (uguale a 1).

# L'integrale con R (vedi)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
g = function(x) exp(-x); integral(g,0,Inf)
# 1

o con lo script online "integ." recuperabile qui, avendo preso exp(-x) come "F(x)". 

0.9999999999888545  if a=0 b=40 n=8e6 [-1.958211370833851e-12]
0.9999999999908127  if a=0 b=40 n=4e6 [9.980238857565382e-12]
0.9999999999808324  if a=0 b=40 n=2e6 [4.8716364275946944e-11]
0.9999999999321161  if a=0 b=40 n=1e6 [0.9999999999321161]
 - - - - - - - -
4.2483542550039574e-18  if a=40 b=80 n=1e6 [4.2483542550039574e-18]
 - - - - - - - -
0.9999999999321161  if a=0 b=40 n=1e6 [0.9999999999321161]

Tra 0 e 40, con 1e6 passi, è quasi 1; tra 40 e 80 è circa 10^-18; tra 0 e 40 con più passi si avvicinia ulteriormente a 1 (fino a che non diventano preponderanti gli errori di arrotondamento).