Sia F: x → x(x−2) e G: x → x/2; sia R la retta x=2. Indica sulla figura a fianco quali sono F, G ed R e specifica le scale dei due assi. Calcola l'area della superficie che sta nella striscia verticale di ascissa compresa tra 0 e 2 e che è delimitata dai grafici di F e di G.    
Poiché in [0,2] F ≤ G, l'area è uguale a:
[0,2] (G−F) = ∫ [0,2] 5/2·x−x·x dx = 5/2·2²/2−2³/3 = 7/3.

La spiegazione è abbastanza semplice.  L'area tra il grafico di una funzione continua positiva H e l'asse x nella striscia a ≤ x ≤ b è  [a,b] H = "valore a cui tende, al tendere di N all'infinito, la somma delle aree degli N trapezi di eguale altezza" costruiti nel modo raffigurato sotto a sinistra nel caso N=3.

 

L'area tra il grafico di una funzione continua H, quello di una funzione continua K non superiore ad H e l'asse x nella striscia a ≤ x ≤ b è  [a,b] (H−K) = "valore a cui tende, al tendere di N all'infinito, la somma delle aree degli N trapezi di eguale altezza" costruiti nel modo raffigurato sopra a destra nel caso N=3  [la cosa è intuitiva ma può essere dimostrata rigorsosamente].

# Grafici e calcoli con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=2.5; HF=2.5; PLANE(0,2.5, -1,1.5)
F=function(x) x*(x-2); G=function(x) x/2
graph2(F,-1,3, "black"); graph2(G, -1,3, "black")
abline(v=2,lwd=2,col="black")
Diseq(F,G, 0,2, "brown")
text(2.2,-0.75,font=2,"R"); text(2.3,0.2,font=2,"F")
text(2.2,1.3,font=2,"G")
CLEAN(0.8,1.2, -0.4,-0.1)
text(1,-0.25,"7/3",font=2,cex=0.9)
U = function(x) G(x)-F(x)
integral(U, 0,2)            # 2.333333
fraction(integral(U, 0,2))  # 7/3