Calcola l'area racchiusa tra i grafici di x → −x² e di x → x²−4 e quella tra i grafici di x → x² e di x → −x²+4.

Le due aree sono uguali in quanto nel secondo caso ho le stesse funzioni del primo con i segni scambiati, e l'area la calcolo facendo l'integrale della funzione differenza e prendendone il valore assoluto.

Se traccio i grafici (ad es. quelli del secondo caso) posso stimare l'area come quella di un rombo di diagonali 4 e 3, che ha area 6. Facciamo i calcoli usando il concetto di integrale.
I due grafici si intersecano quando x²−4=x², ossia quando x²=2, ossia per x=√2 e per x=−√2. La differenza delle due funzioni vale 4−2x².
∫ _{[−√2,√2]} 4−2x² dx = f(√2)−f(−√2) dove f(x) = 4x−2x³/3.
∫ _{[−√2,√2]} 4−2x² dx = 4√2−2√2³/3+4√2−2√2³/3 = 8√2−4√2³/3 = 8√2−8√2/3 = 16/3·√2 = 7.54247…

Ecco come fare grafici e calcoli con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) x^2-4; g = function(x) -x^2
f1 = function(x) -x^2+4; g1 = function(x) x^2
BF=2.5; HF=2
graphF(f, -2,2, "brown"); graph(g, -2,2, "seagreen")
Diseq(f,g, -2,2, "cyan")
graph(f, -2,2, "brown"); graph(g, -2,2, "seagreen")
#
graphF(f1, -2,2, "brown"); graph(g1, -2,2, "seagreen")
Diseq(g1,f1, -2,2, "cyan")
graph(f1, -2,2, "brown"); graph(g1, -2,2, "seagreen")
#
h = function(x) g(x)-f(x)
x1 = solution(h,0, -2,-1); x2 = solution(h,0, 1,2); x1; x2
#   -1.414214   1.414214
x1^2                        # 2
I = integrale(h, -sqrt(2),sqrt(2)); I
# 7.542472
fraction(I/sqrt(2))         # 16/3