1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … = 0.1 + 0.01 + 0.001 + … = 1.111… = 10/9 (ogni nuovo addendo è un decimo del precedente).  So, inoltre, (vedi qui o qui) che  1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2 (ogni nuovo addendo è metà del precedente).  Dimostra che il termine  1 + x + x2 + x3 + x4 + … (ogni nuovo addendo è il precedente diviso per x) vale  1 / (1−x)  se |x| < 1
[verifica prima che i due casi considerati all'inizio ne sono esempi;  verifica poi che per x = 1 e per x = −1 questo non vale; dimostra infine che per ogni N numero naturale (1 + x + x2 + … + xN)·(1−x) = 1−xN+1, e, quindi, che 1 + x + x2 + … + xN1 / (1−x)  per N → ∞  se |x| < 1]

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … = 1/(1−1/10) = 1/(9/10) = 10/9:  OK
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1/(1−1/2) = 1/(1/2) = 2:  OK
1 + 1 + 1 + 1 + …: la successione non converge (tende a ∞)
1 + (−1) + (−1)² + (−1)³ + … = 1−1+1−1+…: la successione non ha limite in quanto la somma dei primi N termini vale 1, 0, 1, 0, …; per N che vale 1, 2, 3, 4, …
È immediatamente verificabile che (1 + x + x2 + … + xN)·(1−x) = 1−xN+1
1 + x + x2 + … + xN = (1−xN+1)/(1−x) = 1/(1−x) − xN+1/(1−x)
Per N → ∞, se |x| < 1, xN+1 → 0  e quindi  1 + x + x2 + … + xN → 1/(1−x)
ovvero  1 + x + x2 + x3 + … = 1/(1−x)


Volendo la cosa congetturabile facilmente, ad esempio impiegando questo script:

function F(n) {
with(Math) {
a = pow(1/7,n)
return a
}}

1.1666666666666665  if a=0 b=40
1.1666666666666665  if a=0 b=20
1.1666666660766445  if a=0 b=10

1+0.1666... = 1+1/6 = 7/6

function F(n) {
with(Math) {
a = pow(-1/7,n)
return a
}}

0.8750000000000002  if a=0 b=40
0.8750000000000002  if a=0 b=20
0.8750000004425168  if a=0 b=10

875/1000 -> 7/8

# Ovvero impiegando R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
a = function(n) x^n           # a(n): the nth element of the summation
N = function(n) seq(1,n,1)    # N = 1 2 ... n
S = function(n) sum(a(N(n)))  # sum a(1)+...a(n)
x=1/7; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1)
#  0.166666666666667  1/6  0
x=1/6; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1)
#  0.2   1/5   0
x=-1/6; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1)
#  -0.142857142857143   -1/7   0
x=-1/2; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1)
#  -0.333333333333333   -1/3  -1.527468e-151