1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 +
= 0.1 + 0.01 + 0.001 +
= 1.111
= 10/9 (ogni nuovo addendo è un decimo
del precedente). So, inoltre, (vedi qui o
qui) che 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +
= 2 (ogni nuovo addendo è
metà del precedente). Dimostra che il termine
[verifica prima che i due casi considerati all'inizio ne sono esempi; verifica poi che per x = 1 e per x = −1 questo
non vale; dimostra infine che per ogni N numero naturale
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 +
= 1/(1−1/10) = 1/(9/10) = 10/9: OK
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +
= 1/(1−1/2) = 1/(1/2) = 2: OK
1 + 1 + 1 + 1 +
: la successione non converge (tende a ∞)
1 + (−1) + (−1)² + (−1)³ +
= 1−1+1−1+
: la successione non ha limite in quanto la somma dei primi N termini
vale 1, 0, 1, 0,
; per N che vale 1, 2, 3, 4,
È immediatamente verificabile che
1 + x + x2 +
+ xN =
Per N → ∞, se |x| < 1, xN+1 → 0 e
quindi 1 + x + x2 +
+ xN → 1/(1−x)
ovvero 1 + x + x2 + x3 +
= 1/(1−x)
Volendo la cosa è congetturabile facilmente, ad esempio impiegando questo script:
function F(n) { with(Math) { a = pow(1/7,n) return a }} 1.1666666666666665 if a=0 b=40 1.1666666666666665 if a=0 b=20 1.1666666660766445 if a=0 b=10 1+0.1666... = 1+1/6 = 7/6 function F(n) { with(Math) { a = pow(-1/7,n) return a }} 0.8750000000000002 if a=0 b=40 0.8750000000000002 if a=0 b=20 0.8750000004425168 if a=0 b=10 875/1000 -> 7/8 # Ovvero impiegando R (vedi): source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") a = function(n) x^n # a(n): the nth element of the summation N = function(n) seq(1,n,1) # N = 1 2 ... n S = function(n) sum(a(N(n))) # sum a(1)+...a(n) x=1/7; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1) # 0.166666666666667 1/6 0 x=1/6; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1) # 0.2 1/5 0 x=-1/6; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1) # -0.142857142857143 -1/7 0 x=-1/2; n=500; more( S(n)); fraction(S(n)); a(n+1) # -0.333333333333333 -1/3 -1.527468e-151