Una parabola e una retta che la taglia individuano una figura, chiamata segmento parabolico, che ha area pari ai 2/3 dell'area di un qualunque parallelogramma avente la corda individuata come lato e avente lato opposto tangente la parabola.  Prova a dimostrare la cosa, eventualmente limitandoti a casi più semplici (o ricorrendo a qualche calcolo numerico o simbolico usando il computer).

Posso dimostrare la cosa per la parabola y = x².  Gli altri casi sono riconducibli a questo in quanto ogni altra parabola è ottenibile da y = x² mediante delle rototraslazioni e delle trasformazioni di scala, che mantengono il parallelismo, l'essere una parabola e i rapporti tra le aree delle figure. Posso limitarmi a considerare il caso raffigurato a sinistra, con il parallelogramma con due lati paralleli all'asse y, in quanto il parallelogramma della figura inziale ha la stessa area di questo. Prima, però, ragioniamo su un caso più semplice, quello raffigurato a destra, in cui la retta è orizzontale.  Se −u ed u sono le ascisse dei punti in cui la parabola taglia la retta, chiamata F la funzione che ha per grafico la parabola (F(x) = x²), abbiamo che:  l'area del rettangolo di base 2u ed altezza u² è 2u³,  l'area racchiusa è pari all'area del rettangolo meno ∫[−u,u] F = T(u)−T(−u) dove T(x) = x³/3, ossia 2u³−2u³/3 = 2u³·2/3.  Quindi il rapporto tra le due aree è 2/3.

Affrontare il caso generale non è semplicissimo: occorre trovare il punto di tangenza alla parabola della retta colorata in rosso, poi trovate le ascisse dei punti di intersezione calcolare l'integrale definito della funzione differenza della funzione che ha per grafico la retta marrone dalla funzione F, …. I calcoli non sono complicatissimi, ma non sono banali.  È facile verificare la cosa con il computer. Facciamolo con R (vedi), tracciando anche la figura sopra a sinistra.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
## Consideriamo una retta qualunque; posso verificare
## facilmente che gli esiti non cambiano
BF=3; HF=3; PLANE(-4,4, -2,6)
f = function(x) x^2; graph2(f, -4,4, "blue")
g = function(x) 4+x/2; graph2(g, -4,4, "brown")
    
## Le ascisse dei punti di intersezione
a = solution2(f,g, -3,0); a; b = solution2(f,g, 0,3); b
# -1.765564  2.265564
## Coloro la parte di cui voglio trovare l'area (ripasso tre
## volte per infittire la punteggiatura)
Diseq( f,g, -4,4, "orange")
    
## Calcolo l'area mediante integrazione:
h = function(x) g(x)-f(x); I = integral(h, a,b); I
# 10.91764
## Traccio le rette verdi:
q = function(x,y) x-a; p=function(x,y) x-b
CURV(q, "seagreen"); curv(p, "seagreen")
# o:   abline(v=c(a,b), lwd=2, col="seagreen")
    
## L'area A del parallelogramma deve essere:
A = 3/2*I; A
# 16.37646
## e quindi la sua altezza deve essere:
H = A/(b-a); H
# 4.0625
## Dunque la retta che delimita inferiormente il parallelogramma è:
k = function(x) g(x)-H; graph( k, -4,4, "red" )
    
## Pendenza della retta e punto x,f(x) della parabola con tale pendenza
pend = (g(b)-g(a))/(b-a); pend
# 0.5
## derivata di x^2 = 2*x = pend; x = pend/2
x = pend/2; x; POINT(x,f(x), "brown")
# 0.25
    
## OK: le cose tornano