depranoide

Ho due cerchi uguali e tangenti tra loro. Costruisco un qualunque paralleogramma con due vertici concecutivi nei centri dei cerchi e gli altri due sul bordo di essi. Costruisco un semicerchio esterno ai cerchi e che abbia questi due ultimi punti come estremi. Sotto sono riportati due esempi.
Verifica sia con un ragionamento geometrico sia usando il concetto di integrale (eventualmente impiegando del software per svolgere i calcoli) che il parallelogramma (marrone) e la figura (verde) delimitata dal semicerchio e dai due cerchi sono equivalenti, ossia hanno la stessa area. Verifica, poi, che la lunghezza del bordo della seconda figura è costante. Questa figura fu chiamata dagli antichi Greci drepanoide, che significa "a forma di falce" (da "drepáne" = falce).

Osseviamo, innanzi tutto, che il semicerchio ha lo stesso diametro degli altri due cerchi in quanto i lati opposti del parallelogramma sono eguali. Prima di metterci a fare calcoli cerchiamo di esplorare la situazione vedendo che cosa accade in qualche caso particolare. Vediamo, specificamente, che cosa accade nella situazione illustrata a fianco, in cui il parallelogramma è un rettangolo. Questo ha area 2·1 = 2. La figura verde equivale al rettangolo in quanto il semicerchio superiore lo posso tagliare in due parti e mettere ciascuna di questi sopra ai due quarti di cerchio contenuti nel rettangolo.
La lunghezza del bordo della seconda figura equivale poi al bordo dell'intero cerchio, ossia è 2π.

È facile capire che questa lunghezza rimane la stessa negli altri casi, come quelli illustrati sopra. Infatti i due archi di cerchio sottostanti uniti formano in ogni caso un semicerchio; ovvero ruotando ciascuno di essi posso ricostruire il cerchio di cui il semicerchio superiore è la metà, come si vede nella figura qui a sinistra.
Ci rimane da dimostare che l'area delle figura verde è eguale a quella del parallelogramma anche nei casi in cui questo non è rettangolare.
Procediamo facendo riferimento alla figura sottostante a destra.

La figura "verde" è pari a x+y. Osserviamo subito che x+z è un semicerchio eguale a u+v+z. Quindi x = u+v.
A questo punto ci basta osservare che v = w. Quindi x = u+w. Dunque x+y = u+w+y.
Questo è quanto dovevamo dimostare.

Possiamo esprimere questa area con una formula: chiamata A l'ampiezza dell'angolo in basso a sinistra del parallelogramma, l'altezza del parallelogramma è pari a sin(A), quindi la sua area, e quella del depranoide, è 2·sin(A) (che nel caso in cui A è l'angolo retto diventa 2, in accordo con quanto visto sopra).

Ecco, sotto, come costruire la figura e come fare il calcolo con gli integrali (qui calcolati con R, ma calcolabili anche "a mano"). Più avanti alcune uscite.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
# copia il sottoprogramma seguente. Poi introduci  figura(10)  o figura(...) con
# in ... un qualunque angolo in gradi tra 0 e 180.
figura = function(a) {
  PIANO(-2,2,-1,2)
  cerchio(-1,0, 1, "blue"); cerchio(1,0, 1, "blue")
  Direzione(1,0, a,1, "brown"); Direzione(-1,0, a,1, "brown")
  segm(-1,0, 1,0, "brown")
  segm(-1+xrot(a),yrot(a), 1+xrot(a),yrot(a), "brown")
  arco(xrot(a),yrot(a), 1, 0,180, "seagreen")
  arco(-1,0, 1, 0,a, "seagreen"); arco(1,0, 1, a,180, "seagreen")
  A1 = 2*sin(a*gradi); print("area del parallelogramma"); print(A1)
  f=function(x) sqrt(1-(x-xrot(a))^2)+sin(a*gradi)
  # la funz. che ha per grafico il semicerchio
  g=function(x) sqrt(1-(x+1)^2); h=function(x) sqrt(1-(x-1)^2)
  # le funz. che ha per grafici i due archi di cerchio
  A2 = integrale(f,-1+xrot(a),1+xrot(a))-integrale(g,-1+xrot(a),0)-integrale(h,0,1+xrot(a))
  print("area racchiusa dagli archi verdi"); print(A2)
  # La lunghezza della curva verde è pari a quella dei cerchi blu
  }
figura(60)
# ...

Alcune uscite (riportiamo solo quelle numeriche):
figura(60)
# area del parallelogramma 1.732051   area racchiusa dagli archi 1.732051
figura(90)
# area del parallelogramma 2          area racchiusa dagli archi 2
figura(45)
# area del parallelogramma 1.414214   area racchiusa dagli archi 1.414214
figura(5)
# area del parallelogramma 0.1743115  area racchiusa dagli archi 0.1743115

	È facile capire che questa lunghezza rimane la stessa negli altri casi, come quelli illustrati sopra. Infatti i due archi di cerchio sottostanti uniti formano in ogni caso un semicerchio; ovvero ruotando ciascuno di essi posso ricostruire il cerchio di cui il semicerchio superiore è la metà, come si vede nella figura qui a sinistra.
	Ci rimane da dimostare che l'area delle figura verde è eguale a quella del parallelogramma anche nei casi in cui questo non è rettangolare. Procediamo facendo riferimento alla figura sottostante a destra.

La figura "verde" è pari a x+y. Osserviamo subito che x+z è un semicerchio eguale a u+v+z. Quindi x = u+v. A questo punto ci basta osservare che v = w. Quindi x = u+w. Dunque x+y = u+w+y. Questo è quanto dovevamo dimostare.
Possiamo esprimere questa area con una formula: chiamata A l'ampiezza dell'angolo in basso a sinistra del parallelogramma, l'altezza del parallelogramma è pari a sin(A), quindi la sua area, e quella del depranoide, è 2·sin(A) (che nel caso in cui A è l'angolo retto diventa 2, in accordo con quanto visto sopra).