Sotto è rappresentato l'andamento di ∫ f (integrale indefinito di f = {antiderivate di f} = {soluzioni rispetto a F di F'=f}) per sei diverse funzioni f. Più precisamente ogni figura rappresenta per molti punti (x,y) dei segmentini centrati in essi e con pendenza
f1: x → 1+x, f2: x → 3x, f3: x → 1.5x, f4: x → 1/x, f5: x → x2, f6: x → x
A B C D E F
Possiamo ragionare in molti modi. Vediamone uno.
Le curve con in x pendenza 1+x hanno tangente orizzontale per x=-1;
hanno concavità verso l'alto in quanto 1+x cresce con x; quindi hanno l'andamento F;
più precisamente si tratta delle parabole y = x2/2+x+C (C numero reale), ottenibili una dall'altra mediante traslazioni verticali;
infatti
Le curve con in x pendenza 3x e quelle con in x pendenza 1.5x hanno pendenza crescente e positiva;
dobbiamo scegliere tra C ed E: sono gli unici andamenti che hanno queste caratteristiche
(del resto una funzione per avere come derivata una funzione esponenziale deve essere una esponenziale eventualmente sommata a una costante,
e C e D sono gli unici andamenti compatibili); a C corrisponde una crescita più veloce della pendenza (a destra di 0 i segmentini tendono più velocemente alla verticalità, a sinistra tendono più velocemente alla orizzontalità); quindi gli associamo 3x.
Le curve che in x hanno pendenza 1/x, che decresce in ciascuno dei due intervalli in cui è definita,
devono essere formate da archi di curva con concavità verso il basso, che tendono alla verticalità
avvicinandosi a 0. L'andamento deve essere B.
La pendenza x2 è sempre positiva tranne che per x=0, dove si annulla:
D ha questo andamento: sono funzioni crescenti che in 0 hanno derivata nulla.
Del resto F(x) per avere derivata x2 deve essere del tipo x3/3+C,
ossia avere per grafico una traslazione verticale di y=x3/3.
L'andamento delle curve con pendenza x è lo stesso di quelle già esaminate con pendenza 1+x,
ma spostato a destra di 1: a quelle abbiamo associato F, a queste associamo A.
Sotto i grafici, in ordine, in corrispondenza di f1, , f6:
# Come sono stati tracciati con R (vedi) source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f1 = function(x) 1+x; f2 = function(x) 3^x; f3 = function(x) 1.5^x f4 = function(x) 1/x; f5 = function(x) x^2; f6 = function(x) x BF=1.8; HF=1.8 boxww(-3,2, -2,3); Dy = function(x,y) f1(x); diredif(-3,2,-2,3, 15,15) GridHC(0,"blue"); GridVC(0,"blue"); underX("-3",-3); underX("2",2); underX("0",0); underY("-2",-2); underY("3",3); underY("0",0) boxww(-3,2, -2,3); Dy = function(x,y) f2(x); diredif(-3,2,-2,3, 15,15) GridHC(0,"blue"); GridVC(0,"blue"); underX("-3",-3); underX("2",2); underX("0",0); underY("-2",-2); underY("3",3); underY("0",0) boxww(-3,2, -2,3); Dy = function(x,y) f3(x); diredif(-3,2,-2,3, 15,15) GridHC(0,"blue"); GridVC(0,"blue"); underX("-3",-3); underX("2",2); underX("0",0); underY("-2",-2); underY("3",3); underY("0",0) boxww(-3,2, -2,3); Dy = function(x,y) f4(x); diredif(-3,2,-2,3, 15,15) GridHC(0,"blue"); GridVC(0,"blue"); underX("-3",-3); underX("2",2); underX("0",0); underY("-2",-2); underY("3",3); underY("0",0) boxww(-3,2, -2,3); Dy = function(x,y) f5(x); diredif(-3,2,-2,3, 15,15) GridHC(0,"blue"); GridVC(0,"blue"); underX("-3",-3); underX("2",2); underX("0",0); underY("-2",-2); underY("3",3); underY("0",0) boxww(-3,2, -2,3); Dy = function(x,y) f6(x); diredif(-3,2,-2,3, 15,15) GridHC(0,"blue"); GridVC(0,"blue"); underX("-3",-3); underX("2",2); underX("0",0); underY("-2",-2); underY("3",3); underY("0",0)