Facendo riferimento all'esercizio precedente, per ogni n (n = 1, 2, …, 6) individua (e traccia il grafico di) F che abbia fn come derivata e tale che F(–1)=1.

f1: x 1+x,  f2: x 3x,  f3: x 1.5x,  f4: x 1/x,  f5: x x2,  f6: x x
• Se F è tale che F'=f1 (fig.E) si ha F(x)=x2/2+x+C. La condizione F(–1)=1 si traduce nell'equazione:
(–1)2/2+(–1)+C = 1
1/2–1+C = 1
C = 1–1/2+1 = 1.5
• Se F è tale che F'=f2 (fig.C) si ha F(x)=3x/ln(3)+C. Infatti 3x = eln(3x) = ex ln(3), da cui d(3x)/dx = ln(3)ex ln(3) = ln(3)3x.
3–1/ln(3)+C = 1
C = 1 – 1/(3ln(3))
• F'=f3 (fig.E) si ha F(x)=1.5x/ln(1.5)+C.
1.5–1/ln(1.5)+C = 1
C = 1 – 1/(1.5 ln(1.5)) = 1 – 2/(3 ln(1.5))
• F'=f4 (fig.B) si ha F(x)=ln(x)+C1 se x>0, F(x)=ln(-x)+C2 se x<0. Infatti d(ln(x))/dx = 1/x, d(ln(-x))/dx = d(ln(-x))/d(-x)*d(-x)/dx = 1/(-x)*(-1) = 1/x.
ln(1)+C2 = 1
C2 = 1
Dunque F(x) = ln(-x)+1 se x<0, F(x) = ln(x)+C se x>0: nel semipiano x<0 il grafico è una curva fissata; nel semipiano x>0 può essere una qualunque curva del tipo y=ln(x)+C.
• F'=f5 (fig.D) si ha F(x)=x3/3+C.
-1/3+C = 1
• F'=f6 (fig.A) si ha F(x)=x2/2+C.
1/2+C = 1
C = 1-1/2 = 1/2
A B C D E F