Calcola l'area della figura racchiusa tra i grafici di x → 1/x e di x → –1/x e le rette x = –2, x = 2, y = –2, y = 2.

L'area è composta da 4 quadrati di area 1 più 8 superfici di area: ∫I1/x dx con I = [1,2]. ∫1/x dx = ln(x)+C, cioè 1/x = Dx(ln(x)+C), se x>0; quindi: ∫I1/x dx = ln(2) - ln(1) = ln(2). L'area complessiva è dunque 4+8ln(2) = 9.54517… Facciamo un controllo intuitivo: la figura è grande 4 quadrati di area 1 più 8 figure pari a circa un quadrato di area 1 meno una fetta pari a circa 1/4 di essi. In tutto circa 4+8*(3/4) = 10. OK.

Nota. Stiamo impiegando, per adattraci a notazioni purtroppo entrate nell'uso, il simbolo ∫ con due significati diversi: • in  ∫I1/x dx  sta ad indicare un integrale definito, e in questo caso x è da intendere come variabile locale, rimpiazzabile senza cambiamenti di significato: potremmo scrivere equivalentemente  ∫I1/u du; • in  ∫1/x dx  dovrebbe indicare un integrale indefinito, ossia l'insieme delle funzioni che hanno x → 1/x come derivata; anche in questo caso x dovrebbe essere una variabile locale, in quanto questo insieme potrebbe essere descritto equivalentemente come l'insieme delle funzioni che hanno u → 1/u come derivata; ma quando si scrive  ∫1/x dx = ln(x)+C  si intende dire che  1/x = Dx(ln(x)+C),  per cui la variabile usata sotto il simbolo ∫ deve coincidere con quella usata a destra di "=".     Questo è uno dei vari abusi di linguaggio praticati nell'Analisi Matematica.

# Grafico e calcoli con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) 1/x; f1 = function(x) -f(x)
PLANE(-2,2, -2,2)
graph1(f,-2,2, "brown"); graph1(f1,-2,2, "brown")
line(-2,-2, -2,2, "brown"); line(-2,-2, 2,-2, "brown")
line(2,2, 2,-2, "brown"); line(2,2, -2,2, "brown")
P <- function(x,y) -2<=x & x<=2 & -2<=y & y<=2 & abs(y) <= abs(1/x)
diseq2(P,0, "brown"); diseq2(P,0, "brown")
integral(f,0.5,1)*8+4
# 9.545177