Sia F la funzione lineare a tratti definita in I = [0,2] che è rappresentata graficamente a lato. Calcolare  ∫ I F. Tracciare il grafico di  x → ∫[0,x] F. Calcolare  ∫ I  x·F(x) dx.

• ∫ I F è pari alla somma delle aree di due triangoli di uguale altezza e basi lunghe complessivamente 2, ossia vale 2·1/2 = 1. • x → ∫[0,x] F è continua; in 0 vale 0, in 1 vale 1/2 (area primo triangolo), in 1.5 vale 0.75 e in 2 vale 1 (area complessiva). Il grafico è formato da tre archi di parabola che si raccordano con un punto angoloso in 1 (dove F ha un salto) e un flesso in 1.5 (dove la pendenza di F cambia segno), con la concavità verso l'alto / il basso dove F cresce / decresce. • Possiamo calcolare  ∫ I x·F(x) dx  in modo esplicito:

∫ [0,1] x·x dx + ∫ [1,1.5] x·2(x-1) dx + ∫ [1.5,2] x·(-2)(x-2) dx = 1/3 + 2(27/8/3-1/3-9/4+1/2) ... = 13/12 oppure, in modo molto più semplice, pensando che esso è l'ascissa del centroide (baricentro) della figura di cui l'integrale di F calcola l'area (ovvero la media della variabile casuale di cui F è la funzione di densità): il primo triangolo ha centroide con x=2/3; il secondo ha centroide con x=3/2; i due triangoli hanno la stessa area, quindi l'ascissa del centroide complessivo è la media di 2/3 e 3/2: (4+9)/6/2 = 13/12.

Possiamo controllare grafici e calcoli con WolframAlpha:
plot piecewise[{ {x, x <= 1}, {(x-1)*2, 1 < x <= 1.5}, {(2-x)*2, 1.5 < x} }], x=0..2
integrate piecewise[{ {x, x <= 1}, {(x-1)*2, 1 < x <= 1.5}, {(2-x)*2, 1.5 < x} }], x=0..2

integrate piecewise[{ {x^2, x<=1}, {x*2*(x-1), 1<x<=1.5}, {x*(-2)*(x-2), 1.5<x}} ], x=0..2
1.08333

# Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3.5; HF=2
PLANE(0,2, 0,1)
F = function(x) ifelse(x<1,x,ifelse(x<1.5,2*x-2,-2*x+4))
graph2(F,0,2, "blue")
pointO(1,1,"black")
H = function(x) integral(F,0,x)
H(1); H(1.5); H(2)
# 0.5  0.75  1
GintegraB(F, 0,2, "red")
F1 = function(x) x*F(x); integral(F1,0,2)
# 1.083333
fraction( integral(F1,0,2) )
# 13/12