Calcolare il volume della ciambella (toro) ottenuto ruotando un cerchio di raggio R attorno a una retta fissata in modo tale che il suo centro si mantenga a distanza 1 da essa. [Traccia.  Determina il volume della metà superiore pensandola come unione di gusci cilindrici di raggio x e altezza f(x) variabili come suggerito nella figura a lato]

    Prendo come asse di rotazione l'asse y e come cerchio la traslazione di x²+y² = R² di Δx=1, ossia (x-1)²+y² = R².
La parte superiore del cerchio è y = √(R²-(x-1)²).
Il guscio clindrico di raggio x e spessore dx ha sezione di area f(x) dx, e ha quindi volume dV = 2π x f(x) dx
Il volume della metà superiore del toro è:
V = ∫ _{[1-R, 1+R]} 2π x f(x) dx = 2π ∫ _{[-R, R]} (u+1) √(R²-u²) du =
2π ∫ _{[-R, R]} u√(R²-u²) du + 2π ∫ _{[-R, R]} √(R²-u²) du =
0 [integrando dispari e intervallo simmetrico rispetto a 0] +
2π · "area semicerchio di raggio R" =
2π · πR²/2 = π²R²
Quindi l'intero toro ha volume 2π²R².
    Generalizzando, si può dimostrare che (teorema di Pappo) ruotando una superficie piana di area A attorno ad una retta che sta nel suo piano iniziale si ottiene un solido di volume 2πrA dove r è il raggio del cerchio descritto dal centroide della superficie.

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