Sia g: x → |x| + x². Sudiare la derivabilità e la concavità di g nel suo dominio.

Sappiamo che x → |x| e che x → x² sono crescenti in [0,∞) e decrescenti in (−∞,0], quindi sarà tale anche la loro funzione somma. In 0 la funzione x → |x| ha grafico che arriva in (0,0) da destra con pendenza 1 e da sinistra con pendenza −1, mentre la funzione x → x² vi arriva con pendenza 0. Quindi g ha grafico che arriva in (0,0) come x → |x|, da destra con pendenza 1 e da sinistra con pendenza −1. Sotto a sinistra ne è tracciato il grafico attorno a (0,0).
In 0 g non è dunque derivabile, mentre lo è altrove (essendo la somma di due funzioni ivi derivabili).
F ha inoltre la concavità verso l'alto (ossia è convessa) in quanto somma di due funzioni, x → x² e x → |x|, che sono tali.

g

g' g"

Richiami:   concavità di una funzione  neGli Oggetti Matematici.

# Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
g = function(x) abs(x)+x^2
BF=3; HF=2.5
graphF(g, -1.5,1.5, "brown")
deriv(g,"x")
# Error: funzione 'abs' non presente nelle tavole delle derivate
g = function(x) sqrt(x^2)+x^2
dg = function(x) eval( deriv(g,"x") )
Plane(-1.5,1.5, -4,4)
graph(g, -1.5,1.5, "brown")
graph2(dg, -1.5,1.5, "seagreen")
d2g = function(x) eval( deriv2(g,"x") )
graph2(d2g, -1.5,1.5, "blue")
pointO(0,2, "blue")