Data la funzione x → x4 − 2x3 + 7x − 5, studiane l'andamento, compresa la concavità, eventualmente trovando alcuni valori (zeri o punti di massimo o minimo o …) in forma approssimata.

Si tratta di una funzione polinomale di grado pari e di coefficiente direttivo positivo, quindi per l'input che tende a ∞ o a −∞ tende a ∞. Potrebbe avere da 0 a 4 zeri.
Se disponiamo di un computer possiamo facilmente stabilire che l'andamento è quello rappresentato a fianco. Altrimenti la cosa più semplice è determinare le sue derivate. Indichiamo con F la funzione:  F '(x) = 4x³−6x²+7, F "(x) = 12x²−12x = 12x(x−1)F "(x) = 0 sse x=0 o x=1.  F '(0) = 7,  F '(1) = 5;  quindi in 0 e in 1 abbiamo flessi ascendenti.  Le ordinate corrispondenti sono F(0) = −5, F(1) = 1.  Quindi potremmo schizzare il grafico a fianco.
Volendo trovare con più precisione le coordinate dei punti (gialli) in cui il grafico taglia l'asse x e in cui raggiunge il punto (rosso) più basso possiamo procedere per tentativi ragionati, o usare dei programmi per la ricerca degli zeri.
Vediamo come procedere facilmente con degli script online. Usiamo in particolare la "nostra" calcolatrice  (vedi).
   

Iniziamo cercando direttamente il punto di minimo.

In [d] pow(Q,4) - 2*pow(Q,3) + 7*Q - 5

In [a] e [b] -2     2
Clicco ripetutamente [m] (e quando voglio [ \ print ...]):

Q= -0.6666666666666667 dif= 2.6666666666666665 F(Q)= -4.802469135802469
...
Q= -0.8609461519970503 dif= 7.145696934163226e-8 F(Q)= -9.200888440844128
Q= -0.8609461400875554 dif= 4.763797956108817e-8 F(Q)= -9.200888440844137
Q= -0.8609461480272187 dif= 3.175865304072545e-8 F(Q)= -9.200888440844139
Q= -0.8609461533203275 dif= 2.117243536048363e-8 F(Q)= -9.200888440844139

Il punto "rosso" è (-0.86094614, -9.2008884408441)

Potevo anche, in alternativa, e con maggiore precisione, cercare dove si azzera la derivata prima:

In [d] 4*pow(Q,3) - 6*pow(Q,2) + 7

In [a] e [b] -2     2
Clicco ripetutamente [EQ] (e quando voglio [ \ print ...]):

...
Q= -0.8609461421185722 dif= 1.7763568394002505e-15 F(Q)= -1.3322676295501878e-14
Q= -0.8609461421185718 dif= 8.881784197001252e-16 F(Q)= -5.329070518200751e-15
Q= -0.8609461421185716 dif= 4.440892098500626e-16 F(Q)= -4.440892098500626e-16
Q= -0.8609461421185715 dif= 2.220446049250313e-16 F(Q)= 1.3322676295501878e-15
Q= -0.8609461421185716 dif= 1.1102230246251565e-16 F(Q)= 2.6645352591003757e-15
Q= -0.8609461421185716 dif= 1.1102230246251565e-16 F(Q)= 4.440892098500626e-16

Il punto di minimo è (-0.86094614211857, -9.2008884408441)

Determiniamo il valore degli zeri. Il primo:

In [d] pow(Q,4) - 2*pow(Q,3) + 7*Q - 5

In [a] e [b] -2     -1
Clicco ripetutamente [EQ] (e quando voglio [ \ print ...]):

Q= -1.75 dif= 0.5 F(Q)= -6.34375
...
Q= -1.6556007213929576 dif= 2.842170943040401e-14 F(Q)= -9.237055564881302e-14
Q= -1.6556007213929647 dif= 1.4210854715202004e-14 F(Q)= -2.877698079828406e-13
Q= -1.655600721392961 dif= 7.105427357601002e-15 F(Q)= 5.329070518200751e-15
Q= -1.6556007213929593 dif= 3.552713678800501e-15 F(Q)= -4.440892098500626e-14
Q= -1.6556007213929602 dif= 1.7763568394002505e-15 F(Q)= -6.838973831690964e-14

Il secondo:

In [a] e [b] 0     1

...
Q= 0.8027663827371374 dif= 4.440892098500626e-16 F(Q)= 2.220446049250313e-15
...
Q= 0.8027663827371372 dif= 1.1102230246251565e-16 F(Q)= -4.440892098500626e-16

Controllando con WolframAlpha (vedi) troveremmo i valori -1.655600721392960923578812 e 0.8027663827371373905760157.

Il grafico precedente è stato tracciato con questo script online.

Richiami:   concavità di una funzione  neGli Oggetti Matematici.

Come ottenere grafico ed esiti numerici usando R.
F <- function(x) x^4-2*x^3+7*x-5
q = c(-5, 7, 0, -2, 1); solpol(q)
#  0.80276638273714  -1.655600721393   Gli zeri del polinomio
#  Senza usare il fatto che  un polinomio
Plane(-2,2, -10,10); graph1(F, -2,2, "brown")
solution(F,0, 0,1); solution(F,0, -2,0)
# 0.8027664  -1.655601
Point(solution(F,0, 0,1),0,"black"); Point(solution(F,0, -2,-1),0,"black")
m = minmax(F,-2,1); m; F(m)
#  -0.8609461  -9.200888
Point(m,F(m),"blue")
deriv2(F,"x")
# 4 * (3 * x^2) - 2 * (3 * (2 * x))   0-12*x+12*x^2
solpol(c(0,-12,12))
#   0   1
Point(0,F(0),"red"); Point(1,F(1),"red")