Data la funzione x → −3/10·x5 + x4 − x3, studiane l'andamento, compresa la concavità, eventualmente trovando alcuni valori (zeri o punti di massimo o minimo o …) in forma approssimata.

Si tratta di una funzione polinomale di grado dispari e di coefficiente direttivo negativo, quindi per l'input che tende a ∞ tende a −∞, per l'input che tende a −∞ tende a ∞. Potrebbe avere da 1 a 5 zeri. Se disponiamo di un computer possiamo facilmente stabilire che l'andamento è quello rappresentato sotto (provo in un intervallo ampio, poi mi restringo in un intervallo più piccolo). In ogni caso è utile rendersi conto che, indicata con F la nostra funzione e −3/10·x2 + x − 1 con H(x), abbiamo F(x) = H(x)·x3. H(x) < 0 per ogni x, per cui F(x) = 0 solo quando x3 = 0, ossia solo per x = 0. Tutto ciò è in accordo con quanto ottenuto graficamente.
Studiamo le derivate di F. F '(x) = −3/2·x4+4x3−3x2 = (−3/2·x2+4x−3)x2; il primo termine è sempre negativo, per cui tale prodotto si annulla solo per x = 0. Tutto ciò è in accordo col grafico di F', a destra tracciato in rosso. Posso dedurre che per x = 0, in cui F decresce, ho l'unico punto di flesso a tangente orizzontale.
F "(x) = −6x3+12x2−6x = −6(x2−2x+1)x = −6(x−1)2x (di cui, in blu, è tracciato il grafico). Si azzera per x = 0, dove ho già trovato esservi un flesso discendente, e in x = 1, dove non c'è alcun flesso (F" si mantiene negativa a destra e a sinistra di 1):  si noti che se vi è un flesso ed esiste la derivata seconda, questa deve essere nulla, ma dal fatto che questa sia nulla non si può dedurre che si tratti di un punto di flesso.

Richiami:   concavità di una funzione  neGli Oggetti Matematici.


# Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
F = function(x) -3/10*x^5+x^4-x^3
BF=3; HF=3; graphF( F, -10,10, "black")
# grafico sopra a sinistra;  restringo l'intervallo di input:
BF=3; HF=3; graphF( F, -1,2, "black")
dF = function(x) eval( deriv(F,"x") ); graph(dF, -1,2, "red")
d2F = function(x) eval( deriv2(F,"x") ); graph(d2F, -1,2, "blue")
text(-0.75,1.75,"F"); text(-0.75,-1.5,"F'"); text(1.2,-1.5,"F''")
H = function(x) -3/10*x^2+x-1
graph1(H, -1,2, "seagreen"); text(1.75,-0.35,"H")
deriv(H,"x")
# -3/10 * (2 * x) + 1
deriv(H,"x")
-3/10 * (2 * x) + 1
dH = function(x) eval(deriv(H,"x")); fraction( solution(dH,0, 1,2) )
# 5/3
Point(5/3,H(5/3), "black")