Calcola  ∫ [0,1] x(2x−1) dx  e  ∫ [0,1] | x(2x−1) | dx

• ∫ [0,1] x(2x−1) dx = ∫ [0,1] 2x²−x dx Un'antiderivata (rispetto ad x) di 2x²−x è F: x → 2x³/3−x²/2. F(1)−F(0) = 2/3−1/2 = 4/6−3/6 = 1/6 • ∫ [0,1] | x(2x−1) | dx. A causa del valore assoluto, l'integranda non è più un polinomio. La spezzo in [0,1/2] e in [1/2,1] in cui è tale: ∫ [0,1/2] | x(2x−1) | dx = ∫ [0,1/2] x(1−2x) dx = ∫ [0,1/2] x−2x² dx Un'antiderivata è G: x → −F(x). G(1/2)−G(0) = 1/8−1/12.

∫ _[1/2,1] | x(2x−1) | dx = ∫ _[1/2,1] x(1−2x) dx = F(1)−F(1/2) = 7/12−3/8.
∫ _[0,1] | x(2x−1) | dx = 1/8−1/12 + 7/12−3/8 = 1/4.

È facile controllare l'esito dei calcoli lo script online calcolatrice  (vedi), con cui posso approssimare il grafico di una qualunque funzione con n segmentini orizzontali:

Q*(2*Q-1)
a = 0, b = 1, n = 125,  Integral = 0.166656
a = 0, b = 1, n = 250,  Integral = 0.16666400000000012
a = 0, b = 1, n = 500,  Integral = 0.16666600000000006
a = 0, b = 1, n = 1000, Integral = 0.16666650000000008
a = 0, b = 1, n = 2000, Integral = 0.16666662499999998
abs(Q*(2*Q-1))
a = 0, b = 1, n = 125, Integral = 0.24998399999999998
a = 0, b = 1, n = 250, Integral = 0.25000000000000006
a = 0, b = 1, n = 500, Integral = 0.25

Ovvero posso impiegare R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) x*(2*x-1); g = function(x) abs(f(x))
integral(f,0,1); integral(g,0,1); fraction( integral(f,0,1) )
# 0.1666667   0.25   1/6