Calcola   ∫ _[0,π] x+sin(x) dx    ∫ _[0,π/2] x²+cos(x) dx    ∫ _[0,π/2] sin(x)−cos(x) dx

∫ _[0,π] x+sin(x) dx = ∫ _[0,π] x dx + ∫ _[0,π] sin(x) dx = π²/2 − cos(π) + cos(0) = π²/2 + 2.
Analogamente si calcolano gli altri integrali (π³/24+1, 0).
I calcoli fatti con WolfamAlpha:

integrate x+sin(x) from x=0 to pi
# 1/2*(4+π^2)
# 6.93480220054...
integrate x^2+cos(x) from x=0 to pi/2
# 1+π^3/24
# 2.29192819501...
integrate sin(x)-cos(x) from x=0 to pi/2
# 0

Controlli con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f1=function(x) x+sin(x); f2=function(x) x^2+cos(x); f3=function(x) sin(x)-cos(x)
integral(f1, 0,pi); integral(f2, 0,pi/2); integral(f3, 0,pi/2)
#  6.934802   2.291928  -4.397928e-18 (praticamente 0)
fraction( (integral(f1, 0,pi)-2)/(pi^2) )
# 1/2
fraction( (integral(f2, 0,pi/2)-1)/(pi^3) )
# 1/24

Fai il grafico delle funzioni e controlla il significato geometrico di quanto hai ottenuto.

In alternativa posso controllare l'esito dei calcoli lo script online recuperabile qui. Utilizzo "integ." avendo preso, ad esempio, x+sin(x) come "F(x)":

0.6593299064355629  if a=1 b=2 n=64e5 [5.4067861299245124e-14]
6.9348022005444125 if a=0 b=3.141592653589793 n=64e5 [-7.513989430663059e-13]
6.934802200545164  if a=0 b=3.141592653589793 n=32e5 [3.4994229736184934e-13]
6.934802200544814  if a=0 b=3.141592653589793 n=16e5 [-1.254996107036277e-12]
6.934802200546069  if a=0 b=3.141592653589793 n=8e5 [-3.725908470642025e-12]
6.934802200549795  if a=0 b=3.141592653589793 n=4e5 [-1.539657290550167e-11]
6.9348022005651915 if a=0 b=3.141592653589793 n=2e5 [-6.176925637646491e-11]
6.934802200626961  if a=0 b=3.141592653589793 n=1e5 [6.934802200626961]

Prendo 6.934802200545 (le varazioni successive a n=16·10⁵ incominciano ad essere irregolari).

Potrei anche usare lo script online calcolatrice  (vedi), con cui posso approssimare il grafico di una qualunque funzione con n segmentini orizzontali:

Q+sin(Q)
a = 0, b = PI
n = 250,  Integral = 6.934815360077826
n = 500,  Integral = 6.9348054904166005
n = 1000, Integral = 6.934803023011943
n = 2000, Integral = 6.934802406161458
n = 4000, Integral = 6.934802251948862
n = 8000, Integral = 6.934802213395726
Q*Q+cos(Q)
a = 0, b = PI/2 
n = 250,  Integral = 2.291924672235673
n = 500,  Integral = 2.2919273143179315
n = 1000, Integral = 2.2919279748388317
n = 2000, Integral = 2.2919281399690736
n = 4000, Integral = 2.291928181251642  2.2919282
sin(Q)-cos(Q)
a = 0, b = PI/2 
n = 125, Integral = 3.627383237928977e-17  0