Calcola   ∫ _[0,π/2] sin(2t) dt    ∫ _[0,π] 1/2+cos(a) da    ∫ _[0,π/3] cos(x/2) dx

Nota. Pensa al significato grafico:  l'area orientata tra il grafico di g: x → sin(2x) e l'asse x tra 0 e π/2 equivale alla metà di quella di h: x → sin(x) e l'asse x tra 0 e π; quindi ...

∫ _[0,π/2] sin(2t) dt = 1/2·∫ _[0,π] sin(t) dt = 1/2·(-cos(π)+cos(0)) = 1/2·2 = 1.
∫ _[0,π/3] cos(x/2) dx = 2·∫ _[0,π/6] cos(x) dx = 2·(sin(π/6)+sin(0)) = 2·1/2 = 1.
I calcoli fatti con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(t) sin(2*t); integral(f ,0,pi/2)    # 1
f = function(x) sin(x); integral(f ,0,pi)/2      # 1
f = function(t) 1/2+cos(t); integral(f ,0,pi)    # 1.570796
pi/2                                             # 1.570796
f = function(t) cos(t/2); integral(f ,0,pi/3)    # 1
f = function(t) cos(t); integral(f ,0,pi/6)*2    # 1

Con WolframAlpha:
integrate 1/2+cos(a) from a=0 to pi

Potrei anche usare lo script online calcolatrice  (vedi), con cui posso approssimare il grafico di una qualunque funzione con n segmentini orizzontali:

sin(2*Q)
a = 0, b = PI/2
n = 250, Integral = 1.0000065797665738
n = 500, Integral = 1.0000016449359606
n = 1000, Integral = 1.0000004112336338
1/2+cos(Q)
a = 0, b = 3.141592653589793, n = 250,  Integral = 1.570796326794895
a = 0, b = 3.141592653589793, n = 500,  Integral = 1.570796326794896
a = 0, b = 3.141592653589793, n = 1000, Integral = 1.5707963267948966
cos(Q/2)
a = 0, b = 1.0471975511965976, n = 250, Integral = 1.000000182770476
a = 0, b = 1.0471975511965976, n = 500, Integral = 1.000000045692614
a = 0, b = 1.0471975511965976, n = 1000, Integral = 1.0000000114231533