Non esiste una funzione elementare ( Integrali negli Oggetti matematici) che sia la primitiva di x → sin(x)/x. Usando opportuno software calcolane (arrotondato a 7 cifre) l'integrale tra 1 e 2 e traccia il grafico, tra 0 e 10π, di x → ∫ _[1,x] sin(u)/u du.

Per il calcolo posso usare uno script online recuperabile qui. Utilizzo "integ." avendo preso sin(x)/x come "F(x)":

0.6593299064355088  if a=1 b=2 n=32e5 [-1.687538997430238e-14]
0.6593299064355257  if a=1 b=2 n=16e5 [6.439293542825908e-15]
0.6593299064355193  if a=1 b=2 n=8e5  [-2.4868995751603507e-14]
0.6593299064355441  if a=1 b=2 n=4e5  [-1.0247358517290195e-13]
0.6593299064356466  if a=1 b=2 n=2e5  [-4.2743586448068527e-13]
0.659329906436074   if a=1 b=2 n=1e5  [0.659329906436074]

Prendo l'arrotondamento 0.6593299064355 (le cifre successive sono incerte, a causa del prevalere degli errori di approssimazione).

In alternativa, e per i grafici, uso R (vedi). Riproduco subito il grafico di x → sin(x)/x (con evidenziato il punto di ascissa 1; il pallino giallo evidenzia che in 0 la funzione non è definita) e quello di x → ∫ _[1,x] sin(u)/u du.

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) sin(x)/x; integral(f, 1,2)
# 0.6593299
# Uso una scala orizzontale non decimale (multipli di Pi greca).
# Faccio una stima grossolana del range di f
RANGE0(f, 1e-5,10)
#   ~   min  F(min)           Max  F(Max)
#  4.4945000 -0.2172335  0.0000100  1.0000000 
BF=3.3; HF=3
TICKx=pi; TICKy=0.1; Plane2(0,pi*10, -0.3,1)
graph2( f, 0,pi*10, "brown")
underX(c("0","2pi","4pi","6pi","8pi","10pi"),2*pi*(0:5))
underY(c(-0.3,0,0.5,1),c(-0.3,0,0.5,1))
pointO(0,1,"brown"); POINT(1,f(1),"blue")
# Vediamo dove varia l'integrale:
I = function(x) integral(f,1,x)
RANGE0(I, 0,10*pi)
#   ~   min  F(min)           Max  F(Max)
#  0.0000000 -0.9460831  3.1447374  0.9058524
g = function(x) integral(f,1,x)
TICKx=pi; TICKy=0.5; Plane2(0,pi*10, -1,1)
underX(c("0","2pi","4pi","6pi","8pi","10pi"),2*pi*(0:5))
underY((-2:2)/2,(-2:2)/2)
# traccio il grafico della funz.integrale a sinistra e destra di 1
Gintegra(f, 1,0, "seagreen"); Gintegra(f, 1,10*pi, "seagreen")

∫ _[1,0] sin(u)/u du è calcolato come limite di x → ∫ _[1,x] sin(u)/u du per x che tende a 0 da destra.

Osserviamo che ∫ _[1,∞) sin(u)/u du è calcolato come limite di x → ∫ _[1,x] sin(u)/u du per x che tende a ∞.

Usiamo R per calcolare ∫ _[0,∞) sin(u)/u du.

integral(f,0,1e2)
# 1.562225
# integral(f,0,1e3)
# Error: maximum number of subdivisions reached
# Conviene procedere per somme successive
s=0; b=10
s0=s; s=0; for(i in 0:1e1) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 1.57988048912506 1.57988048912506
s0=s; s=0; for(i in 0:1e2) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
#  1.57081912496797615 -0.00906136415708381
s0=s; s=0; for(i in 0:1e3) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
#  1.57073311569261e+00 -8.60092753700581e-05
s0=s; s=0; for(i in 0:1e4) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 1.57078774776842e+00 5.46320758134655e-05
s0=s; s=0; for(i in 0:1e5) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
# 1.57079730319125e+00 9.55542282965460e-06
# È sufficiente per convincersi che sia π/2
fraction(s/pi)
# 1/2
# Volendo si può procedere (bisogna aspettare qualche secondo):
s0=s; s=0; for(i in 0:1e6) s=s+integral(g,b*i,b*(i+1)); more( c(s,s-s0) )
#  1.57079622778987e+00 -1.07540137972428e-06

∫ _[0,∞) sin(u)/u du = π/2